Обычная категория - Regular category

В теория категорий, а обычная категория это категория с конечные пределы и соэквалайзеры пары морфизмов, называемых пары ядер, удовлетворяя определенные точность условия. Таким образом, обычные категории возвращают многие свойства абелевы категории, как существование изображений, не требуя аддитивности. В то же время регулярные категории дают основу для изучения фрагмента логика первого порядка, известная как обычная логика.

Определение

Категория C называется обычный если он удовлетворяет следующим трем свойствам:^[1]

C является конечно полный.
Если ж : Икс → Y это морфизм в C, и

это откат, то коэквалайзер п₀, п₁ существуют. Пара (п₀, п₁) называется пара ядер из ж. Будучи откатом, пара ядер уникальна до уникального изоморфизм.

Если ж : Икс → Y это морфизм в C, и

это откат, а если ж регулярный эпиморфизм, тогда грамм также является регулярным эпиморфизмом. А регулярный эпиморфизм является эпиморфизмом, который появляется как уравнитель некоторой пары морфизмов.

Примеры

Примеры обычных категорий включают:

Набор, категория наборы и функции между наборами
В более общем смысле каждый элементарный топос
Grp, категория группы и групповые гомоморфизмы
Категория кольца и гомоморфизмы колец
В более общем смысле, категория моделей любых разнообразие
Каждый ограниченная встреча-полурешетка, с морфизмами, заданными отношением порядка
Каждый абелева категория

Следующие категории нет обычный:

Вершина, категория топологические пространства и непрерывные функции
Кот, категория малые категории и функторы

Эпи-моно факторизация

В обычной категории обычный -эпиморфизмы и мономорфизмы сформировать система факторизации. Каждый морфизм f: X → Y может быть разложен на обычный эпиморфизм е: X → E за которым следует мономорфизм м: E → Y, так что f = меня. Факторизация уникальна в том смысле, что если е ': X → E' другой регулярный эпиморфизм и m ': E' → Y другой мономорфизм такой, что f = m'e ', то существует изоморфизм h: E → E ' такой, что он = е ' и m'h = m. Мономорфизм м называется изображение из ж.

Точные последовательности и регулярные функторы

В обычной категории диаграмма вида ${ displaystyle R rightrightarrows X to Y}$ считается точная последовательность если это и коувалайзер, и пара ядра. Терминология является обобщением точные последовательности в гомологическая алгебра: в абелева категория, диаграмма

{ displaystyle R ; { overset {r} { underset {s} { rightrightarrows}}} ; X xrightarrow {f} Y}

в этом смысле точен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle 0 к R { xrightarrow {(r, s)}} X oplus X { xrightarrow {(f, -f)}} Y to 0}$ это короткая точная последовательность в обычном понимании.

Функтор между регулярными категориями называется обычный, если он сохраняет конечные пределы и коэффициенты пар ядер. Функтор является регулярным тогда и только тогда, когда он сохраняет конечные пределы и точные последовательности. По этой причине регулярные функторы иногда называют точные функторы. Функторы, сохраняющие конечные пределы, часто называют осталось точно.

Регулярная логика и регулярные категории

Регулярная логика - это фрагмент логика первого порядка которые могут выражать утверждения в форме

{ Displaystyle forall x ( phi (x) to psi (x))}

,

куда ${ displaystyle phi}$ и ${ displaystyle psi}$ регулярно формулы т.е. формулы, составленные из атомарные формулы, константа истинности, двоичная встречает (соединение) и экзистенциальная количественная оценка. Такие формулы можно интерпретировать в обычной категории, и интерпретация является моделью последовательный ${ Displaystyle forall x ( phi (x) to psi (x))}$ , если интерпретация ${ displaystyle phi}$ факторов через интерпретацию ${ displaystyle psi}$ .^[2] Это дает для каждой теории (набора последовательностей) Т и для каждой обычной категории C категория Мод(Т, C) моделей Т в C. Эта конструкция дает функтор Мод(Т,-):RegCat→Кот из категории RegCat из маленький регулярные категории и регулярные функторы для малых категорий. Это важный результат, который для каждой теории Т есть обычная категория R (Т), такое, что для каждой регулярной категории C существует эквивалентность

{ Displaystyle mathbf {Mod} (T, C) cong mathbf {RegCat} (R (T), C)}

,

что естественно в C. Здесь, R (Т) называется классификация категория регулярной теории Т. С точностью до эквивалентности любая малая регулярная категория возникает таким образом как классифицирующая категория некоторой регулярной теории.^[2]

Точные (эффективные) категории

Теория отношения эквивалентности это регулярная теория. Отношение эквивалентности на объекте ${ displaystyle X}$ регулярной категории является мономорфизмом в ${ Displaystyle X раз X}$ который удовлетворяет интерпретации условий рефлексивности, симметрии и транзитивности.

Каждая пара ядер ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}: R rightarrow X}$ определяет отношение эквивалентности ${ Displaystyle R rightarrow X times X}$ . Наоборот, отношение эквивалентности называется эффективный если он возникает как пара ядер.^[3] Отношение эквивалентности эффективно тогда и только тогда, когда оно имеет коэквалайзер и является его ядерной парой.

Обычная категория называется точный, или же точный в смысле Барр, или же эффективный регулярный, если каждое отношение эквивалентности эффективно.^[4] (Обратите внимание, что термин «точная категория» также используется по-разному для точные категории в смысле Квиллена.)

Примеры точных категорий

В категория наборов в этом смысле точен, как и любой (элементарный) топос. Каждое отношение эквивалентности имеет коэквалайзер, который можно найти, взяв классы эквивалентности.
Каждый абелева категория точно.
Каждая категория, которая монадический по категории множеств точно.
Категория Каменные пространства регулярно, но не точно.