Локализация подкатегории - Localizing subcategory

В математике Серр и локализация подкатегорий сформировать важные классы подкатегории из абелева категория. Локализуемые подкатегории - это определенные подкатегории Серра. Они тесно связаны с понятием факторная категория.

Подкатегории Serre

Позволять быть абелева категория. Непустой полный подкатегория называется Подкатегория Серра (или также плотная подкатегория), если на каждую короткую точная последовательность в предмет в тогда и только тогда, когда объекты и принадлежать . Прописью: закрывается по подобъектам, частным объектам и расширениям.

Важность этого понятия проистекает из того факта, что ядра точные функторы между абелевыми категориями обладают этим свойством, и это можно построить (для локально малых ) факторная категория (в смысле Габриэль, Гротендик,Серр ) , который имеет те же объекты, что и , является абелевым и имеет точный функтор (называемый фактор-функтором) чье ядро .

Локализация подкатегорий

Позволять быть локально маленьким. Подкатегория Серра называется локализация, если фактор-функтор имеетправый смежный. С того времени , как левый сопряженный, сохраняет копределы, каждая локализующая подкатегория замкнута относительно копределов. Функтор (или иногда ) также называется функтор локализации, и в секционный функтор. Функтор сечения точно слева и полностью верный.

Если абелева категория кроме тогозавершенный и имеет инъективные оболочки (например, если это Категория Гротендика ), то подкатегория Серрес локализуется тогда и только тогда, когда замкнуто относительно произвольных копроизведений (также известных как прямые суммы). Следовательно, понятие локализующей подкатегории эквивалентно понятию наследственной подкатегории. класс кручения.

Если является категорией Гротендика и локализирующая подкатегория, то фактор-категория снова является категорией Гротендика.

В Теорема Габриэля-Попеску следует, что каждая категория Гротендика является фактор-категорией категория модуля подходящий звенеть ) по модулю локализующей подкатегории.

Смотрите также

Рекомендации

  • Николае Попеску; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям; Academic Press, Inc .; из печати.