Локализация подкатегории - Localizing subcategory

В математике Серр и локализация подкатегорий сформировать важные классы подкатегории из абелева категория. Локализуемые подкатегории - это определенные подкатегории Серра. Они тесно связаны с понятием факторная категория.

Подкатегории Serre

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ быть абелева категория. Непустой полный подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ называется Подкатегория Серра (или также плотная подкатегория), если на каждую короткую точная последовательность ${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow A''\rightarrow 0}$ в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ предмет ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ тогда и только тогда, когда объекты ${\displaystyle A'}$и ${\displaystyle A''}$ принадлежать ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Прописью: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ закрывается по подобъектам, частным объектам и расширениям.

Важность этого понятия проистекает из того факта, что ядра точные функторы между абелевыми категориями обладают этим свойством, и это можно построить (для локально малых ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$) факторная категория (в смысле Габриэль, Гротендик,Серр ) ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$, который имеет те же объекты, что и ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, является абелевым и имеет точный функтор (называемый фактор-функтором) ${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ чье ядро ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Локализация подкатегорий

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ быть локально маленьким. Подкатегория Серра ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ называется локализация, если фактор-функтор${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ имеетправый смежный${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$. С того времени ${\displaystyle T}$, как левый сопряженный, сохраняет копределы, каждая локализующая подкатегория замкнута относительно копределов. Функтор ${\displaystyle T}$ (или иногда ${\displaystyle ST}$) также называется функтор локализации, и ${\displaystyle S}$ в секционный функтор. Функтор сечения точно слева и полностью верный.

Если абелева категория ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ кроме тогозавершенный и имеет инъективные оболочки (например, если это Категория Гротендика ), то подкатегория Серрес ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ локализуется тогда и только тогда, когда${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ замкнуто относительно произвольных копроизведений (также известных как прямые суммы). Следовательно, понятие локализующей подкатегории эквивалентно понятию наследственной подкатегории. класс кручения.

Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является категорией Гротендика и${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ локализирующая подкатегория, то фактор-категория${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ снова является категорией Гротендика.

В Теорема Габриэля-Попеску следует, что каждая категория Гротендика является фактор-категорией категория модуля ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$ (с ${\displaystyle R}$ подходящий звенеть ) по модулю локализующей подкатегории.

Смотрите также

• Подкатегория Жиро

Рекомендации

• Николае Попеску; 1973; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям; Academic Press, Inc .; из печати.