Теорема вложения Митчеллса - Mitchells embedding theorem

Теорема вложения Митчелла, также известный как Теорема Фрейда – Митчелла. или полная теорема вложения, результат о абелевы категории; в нем по существу говорится, что эти категории, хотя и определены довольно абстрактно, на самом деле конкретные категории из модули. Это позволяет использовать поэлементно погоня за диаграммой доказательства в этих категориях. Теорема названа в честь Барри Митчелл и Питер Фрейд.

Подробности

Точное утверждение выглядит следующим образом: если А - малая абелева категория, то существует звенеть р (с 1, не обязательно коммутативным) и a полный, верный и точный функтор F: А → р-Mod (где последнее обозначает категорию всех оставили р-модули ).

Функтор F дает эквивалентность между А и полная подкатегория из р-Mod таким образом, чтобы ядра и коядра вычислено в А соответствуют обычным ядрам и коядрам, вычисленным в р-Мод. Такая эквивалентность обязательно добавка Таким образом, теорема по существу утверждает, что объекты А можно рассматривать как р-модули, а морфизмы как р-линейные карты, с ядрами, коядрами, точные последовательности и суммы морфизмов определяются как в случае модулей. Тем не мение, проективный и инъективный объекты в А не обязательно соответствуют проективному и инъективному р-модули.

Набросок доказательства

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)}$ быть категорией левые точные функторы из абелевой категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ к категория абелевых групп ${\displaystyle Ab}$. Сначала построим контравариантный встраивание ${\displaystyle H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}}$ к ${\displaystyle H(A)=h^{A}}$ для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, куда ${\displaystyle h^{A}}$ ковариантный гом-функтор, ${\displaystyle h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$. В Йонеда Лемма утверждает, что ${\displaystyle H}$ полностью верен, и мы также получаем левую точность ${\displaystyle H}$ очень легко, потому что ${\displaystyle h^{A}}$ уже оставлено точным. Доказательство правильной точности ${\displaystyle H}$ сложнее, и его можно прочесть в Swan, Конспект лекций по математике 76.

После этого докажем, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ является абелевой категорией согласно теории локализации (также Свон). Это самая сложная часть доказательства.

Легко проверить, что абелева категория ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ является Категория AB5 с генератор ${\displaystyle \bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}}$Другими словами, это Категория Гротендика и поэтому имеет инжекторный когенератор ${\displaystyle I}$.

В кольцо эндоморфизмов ${\displaystyle R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)}$ кольцо, которое нам нужно для категории р-модули.

К ${\displaystyle G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)}$ мы получаем другое контравариантное, точное и полностью точное вложение ${\displaystyle G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .}$ Сочинение ${\displaystyle GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod} }$ - искомое ковариантное точное и вполне точное вложение.

Обратите внимание, что доказательство Теорема вложения Габриэля – Квиллена. за точные категории практически идентичен.

Рекомендации

• Р. Дж. Свон (1968). Алгебраическая K-теория, Конспект лекций по математике 76. Springer.
• Питер Фрейд (1964). Абелевы категории. Харпер и Роу.
• Барри Митчелл (1964). Полная теорема вложения. Издательство Университета Джона Хопкинса.
• Чарльз А. Вейбель (1993). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики.