Уточняющая теорема Шрайера - Schreier refinement theorem

В математика, то Уточняющая теорема Шрайера из теория групп заявляет, что любые два субнормальный ряд из подгруппы данной группы имеют эквивалентные уточнения, где две серии эквивалентны, если существует биекция между их факторные группы который отправляет каждую факторную группу в изоморфный один.

Теорема названа в честь Австрийский математик Отто Шрайер который доказал это в 1928 году. Это элегантное доказательство того, что Теорема Жордана – Гёльдера. Это часто подтверждается с помощью Лемма Цассенхауза. Баумслаг (2006) дает короткое доказательство, пересекая члены одной субнормальной серии с членами другой серии.

Пример

Учитывать ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)\times S_{3}}$, куда ${\displaystyle S_{3}}$ это симметрическая группа степени 3. Есть субнормальные серии

${\displaystyle \{[0]\}\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times S_{3},}$

${\displaystyle \{[0]\}\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\{[0]\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times S_{3}.}$

${\displaystyle S_{3}}$ содержит нормальная подгруппа ${\displaystyle A_{3}}$. Следовательно, у них есть уточнения

${\displaystyle \{[0]\}\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times S_{3}}$

с фактор-группами, изоморфными ${\displaystyle (\mathbb {Z} /(2),A_{3},\mathbb {Z} /(2))}$ и

${\displaystyle \{[0]\}\times \{\operatorname {id} \}\;\triangleleft \;\{[0]\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{[0]\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} /(2)\times S_{3}}$

с фактор-группами, изоморфными ${\displaystyle (A_{3},\mathbb {Z} /(2),\mathbb {Z} /(2))}$.

Рекомендации

• Баумслаг, Бенджамин (2006), "Простой способ доказательства теоремы Жордана-Гёльдера-Шрайера", Американский математический ежемесячный журнал, 113 (10): 933–935, Дои:10.2307/27642092