Теорема Истона - Eastons theorem

В теория множеств, Теорема истона это результат возможного Количественные числительные из powersets. Истон (1970) (расширение результата Роберт М. Соловей ) показано через принуждение что единственные ограничения на допустимые значения для 2^κ когда κ это обычный кардинал находятся

{ Displaystyle каппа < OperatorName {cf} (2 ^ { kappa})}

(где cf (α) это конфинальность изα) и

{ displaystyle { text {if}} kappa < lambda { text {then}} 2 ^ { kappa} leq 2 ^ { lambda}.}

Заявление

Если грамм это функция класса чей домен состоит из порядковые и чей диапазон состоит из таких ординалов, что

грамм не убывает,
то конфинальность из ${ displaystyle aleph _ {G ( alpha)}}$ больше, чем ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ для каждого α в области грамм, и
${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ регулярно для каждого α в области грамм,

тогда существует модель ZFC такая, что

{ Displaystyle 2 ^ { Алеф _ { альфа}} = Алеф _ {Г ( альфа)}}

для каждого ${ displaystyle alpha}$ в области грамм.

Доказательство теоремы Истона использует принуждение с правильный класс о наложении условий на модель, удовлетворяющую гипотезе обобщенного континуума.

Первые два условия теоремы необходимы. Условие 1 является хорошо известным свойством мощности, а условие 2 следует из Теорема Кенига.

В модели Истона сильные стороны единичные кардиналы имеют минимально возможную мощность, совместимую с условиями, что 2^κ имеет конфинальность больше κ и является неубывающей функцией κ.

Без расширения на единичные кардиналы

Серебро (1975) доказал, что особый кардинал несчетной конфинальности не может быть наименьшим кардиналом, для которого гипотеза обобщенного континуума терпит неудачу. Это показывает, что теорему Истона нельзя распространить на класс всех кардиналов. Программа Теория ПКФ дает результаты о возможных значениях ${ displaystyle 2 ^ { lambda}}$ для единичных кардиналов ${ displaystyle lambda}$ . Теория ПКФ показывает, что значения функция континуума на особых кардиналах сильно зависят от значений на меньших кардиналах, тогда как теорема Истона показывает, что значения функции континуума на обычные кардиналы лишь слабо подвержены влиянию ценностей меньших кардиналов.

Теорема Истона - Eastons theorem

Содержание

Заявление

Без расширения на единичные кардиналы

Смотрите также

Рекомендации