Обычный кардинал - Regular cardinal

В теория множеств, а обычный кардинал это количественное числительное что равно его собственному конфинальность. Более явно это означает, что ${\displaystyle \kappa }$ является правильным кардиналом тогда и только тогда, когда каждое неограниченное подмножество ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ имеет мощность ${\displaystyle \kappa }$. Бесконечные упорядоченные кардиналы, не являющиеся регулярными, называются единичные кардиналы. Конечные кардинальные числа обычно не называют правильными или единственными.

При наличии аксиома выбора, любое кардинальное число может быть хорошо организованный, и тогда для кардинального ${\displaystyle \kappa }$:

1. ${\displaystyle \kappa }$ обычный кардинал.
2. Если ${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$ и ${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$ для всех ${\displaystyle i}$, тогда ${\displaystyle |I|\geq \kappa }$.
3. Если ${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$, и если ${\displaystyle |I|<\kappa }$ и ${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$ для всех ${\displaystyle i}$, тогда ${\displaystyle |S|<\kappa }$.
4. Категория ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$ наборов мощности меньше, чем ${\displaystyle \kappa }$ и все функции между ними закрываются копределами мощности меньше, чем ${\displaystyle \kappa }$.

Грубо говоря, это означает, что обычный кардинал - это кардинал, который нельзя разбить на небольшое количество более мелких частей.

Ситуация немного сложнее в контекстах, где аксиома выбора может потерпеть неудачу, поскольку в этом случае не все кардиналы обязательно являются мощностями хорошо упорядоченных множеств. В этом случае указанная выше эквивалентность сохраняется только для хорошо упорядочиваемых кардиналов.

Бесконечный порядковый номер ${\displaystyle \alpha }$ это обычный порядковый если это предельный порядковый номер это не предел набора меньших порядковых чисел, который как набор имеет тип заказа меньше, чем ${\displaystyle \alpha }$. Обычный порядковый номер всегда начальный порядковый номер, хотя некоторые начальные порядковые номера не являются правильными, например, ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ (см. пример ниже).

Примеры

Порядковые номера меньше ${\displaystyle \omega }$ конечны. Конечная последовательность конечных ординалов всегда имеет конечный максимум, поэтому ${\displaystyle \omega }$ не может быть пределом любой последовательности типа меньше чем ${\displaystyle \omega }$ чьи элементы являются порядковыми номерами меньше, чем ${\displaystyle \omega }$, и поэтому является обычным порядковым номером. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-нуль ) является правильным кардиналом, поскольку его начальный порядковый номер ${\displaystyle \omega }$, регулярно. Также можно непосредственно увидеть, что он является регулярным, поскольку кардинальная сумма конечного числа конечных кардинальных чисел сама конечна.

${\displaystyle \omega +1}$ это следующий порядковый номер лучше чем ${\displaystyle \omega }$. Это единственное число, так как это не предельный ординал. ${\displaystyle \omega +\omega }$ это следующий порядковый номер предела после ${\displaystyle \omega }$. Его можно записать как предел последовательности ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega +1}$, ${\displaystyle \omega +2}$, ${\displaystyle \omega +3}$, и так далее. Эта последовательность имеет тип заказа ${\displaystyle \omega }$, так ${\displaystyle \omega +\omega }$ является пределом последовательности типа меньше, чем ${\displaystyle \omega +\omega }$ чьи элементы являются порядковыми номерами меньше, чем ${\displaystyle \omega +\omega }$; поэтому это единственное число.

${\displaystyle \aleph _{1}}$ это следующее кардинальное число лучше чем ${\displaystyle \aleph _{0}}$, поэтому кардиналы меньше ${\displaystyle \aleph _{1}}$ находятся счетный (конечное или счетное). Принимая аксиому выбора, объединение счетного множества счетных множеств само является счетным. Так ${\displaystyle \aleph _{1}}$ не может быть записан как сумма счетного множества счетных количественных чисел и является регулярным.

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ это следующее количественное число после последовательности ${\displaystyle \aleph _{0}}$, ${\displaystyle \aleph _{1}}$, ${\displaystyle \aleph _{2}}$, ${\displaystyle \aleph _{3}}$, и так далее. Его начальный порядковый номер ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ предел последовательности ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$, ${\displaystyle \omega _{3}}$и т. д. с типом заказа ${\displaystyle \omega }$, так ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ является особенным, и поэтому ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$. Принимая аксиому выбора, ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ - это первый бесконечный кардинал, который является сингулярным (первая бесконечная порядковый это особенное ${\displaystyle \omega +1}$). Для доказательства существования особых кардиналов требуется аксиома замены, и фактически невозможность доказать существование ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ в Теория множеств Цермело это то, что привело Fraenkel постулировать эту аксиому.^[1]

Свойства

Бесчисленное (слабое) ограничить кардиналов которые также являются регулярными, известны как (слабо) недоступные кардиналы. Их существование в ZFC невозможно доказать, хотя известно, что их существование несовместимо с ZFC. Их существование иногда воспринимается как дополнительная аксиома. Недоступные кардиналы обязательно фиксированные точки из функция алеф, хотя не все неподвижные точки регулярны. Например, первая фиксированная точка - это предел ${\displaystyle \omega }$-последовательность ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...}$ и поэтому является единственным.

Если аксиома выбора держит, то каждый преемник кардинала регулярно. Таким образом, регулярность или сингулярность большинства чисел алеф может быть проверена в зависимости от того, является ли кардинал последующим кардиналом или предельным кардиналом. Невозможно доказать, что некоторые кардинальные числа равны какому-либо конкретному алефу, например мощность континуума, значение которого в ZFC может быть любым несчетным кардиналом бесчисленной конфинальности (см. Теорема истона ). В гипотеза континуума постулирует, что мощность континуума равна ${\displaystyle \aleph _{1}}$, что регулярно.

Без аксиомы выбора были бы кардинальные числа, которые нельзя было хорошо упорядочить. Более того, кардинальная сумма произвольного набора не может быть определена. Поэтому только числа алеф могут быть осмысленно названы регулярными или единственными кардиналами. Более того, последователь алеф не обязательно должен быть обычным. Например, объединение счетного множества счетных множеств не обязательно должно быть счетным. Это соответствует ZF это ${\displaystyle \omega _{1}}$ быть пределом счетной последовательности счетных ординалов, а также множество действительных чисел быть счетным объединением счетных множеств. Кроме того, согласно ZF, каждый алеф крупнее ${\displaystyle \aleph _{0}}$ сингулярно (результат доказан Моти Гитик ).

Смотрите также

• Недоступный кардинал

использованная литература

1. Мэдди, Пенелопа (1988), «Вера в аксиомы. Я», Журнал символической логики, 53 (2): 481–511, Дои:10.2307/2274520, JSTOR  2274520, Г-Н  0947855, Ранние намеки на Аксиому Замещения можно найти в письме Кантора Дедекинду [1899] и у Мириманова [1917]. Мэдди цитирует две статьи Мириманофф: «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальные проблемы теории ансамблей» и «Ремарк о теории ансамблей и канторианских антиномий», обе в L'Enseignement Mathématique (1917).

• Герберт Б. Эндертон, Элементы теории множеств, ISBN  0-12-238440-7
• Кеннет Кунен, Теория множеств, введение в доказательства независимости, ISBN  0-444-85401-0