Первообразная (комплексный анализ) - Antiderivative (complex analysis)

В комплексный анализ, филиал математика, то первообразный, или же примитивный, из сложный -ценный функция грамм - функция, комплексная производная является грамм. Точнее, учитывая открытый набор ${displaystyle U}$ в комплексной плоскости и функция ${displaystyle g:U o mathbb {C} ,}$ первообразная ${displaystyle g}$ это функция ${displaystyle f:U o mathbb {C} }$ это удовлетворяет ${displaystyle {frac {df}{dz}}=g}$.

Таким образом, эта концепция представляет собой версию комплексной переменной первообразный из настоящий -значная функция.

Уникальность

Производная постоянной функции - это нулевая функция. Следовательно, любая постоянная функция является первообразной нулевой функции. Если ${displaystyle U}$ это подключенный набор, то постоянные функции являются единственными первообразными нулевой функции. В противном случае функция является первообразной нулевой функции тогда и только тогда, когда она постоянна на каждом связный компонент из ${displaystyle U}$ (эти константы не обязательно должны быть равными).

Это наблюдение означает, что если функция ${displaystyle g:U o mathbb {C} }$ имеет первообразную, то эта первообразная уникальна вплоть до добавление функции, постоянной на каждом компоненте связности ${displaystyle U}$.

Существование

Существование первообразных можно охарактеризовать через интегралы по путям в комплексной плоскости, как и в случае функций действительной переменной. Возможно, неудивительно, грамм имеет первообразную ж тогда и только тогда, когда для любого γ пути из а к б, интеграл по путям

${displaystyle int _{gamma }g(zeta ),dzeta =f(b)-f(a).}$

Эквивалентно,

${displaystyle oint _{gamma }g(zeta ),dzeta =0,}$

для любого замкнутого пути γ.

Однако, несмотря на это формальное сходство, наличие комплексного первообразного является гораздо более ограничивающим условием, чем его реальный аналог. В то время как разрывная действительная функция может иметь антипроизводную, антипроизводные могут не существовать даже для голоморфный функции комплексной переменной. Например, рассмотрим обратную функцию, грамм(z) = 1/z которая голоморфна на проколотой плоскости C{0}. Непосредственный расчет показывает, что интеграл от грамм вдоль любого круга, охватывающего начало координат, не равно нулю. Так грамм не выполняется условие, указанное выше. Это похоже на существование потенциальных функций для консервативные векторные поля, в этом Теорема Грина может гарантировать независимость от пути только тогда, когда рассматриваемая функция определена на односвязный регион, как и в случае Интегральная теорема Коши.

Фактически, голоморфия характеризуется наличием первообразной локально, это, грамм голоморфна, если для каждого z в его области есть некоторая окрестность U из z такой, что грамм имеет первообразную на U. Кроме того, голоморфность является необходимым условием для того, чтобы функция имела первообразную, поскольку производная любой голоморфной функции голоморфна.

Различные версии Интегральная теорема Коши, основной результат теории функций Коши, в которой широко используются интегралы по путям, дает достаточные условия, при которых для голоморфного грамм,

${displaystyle oint _{gamma }g(zeta ),dzeta }$

обращается в нуль для любого замкнутого пути γ (которым может быть, например, область определения грамм быть односвязными или звездообразно-выпуклыми).

Необходимость

Сначала покажем, что если ж является первообразной от грамм на U, тогда грамм имеет свойство интеграла по путям, указанное выше. Для любого кусочного C¹ дорожка γ: [а, б] → U, можно выразить интеграл по путям из грамм над γ как

${displaystyle int _{gamma }g(z),dz=int _{a}^{b}g(gamma (t))gamma '(t),dt=int _{a}^{b}f'(gamma (t))gamma '(t),dt.}$

Посредством Правило цепи и основная теорема исчисления тогда есть

${displaystyle int _{gamma }g(z),dz=int _{a}^{b}{frac {d}{dt}}fleft(gamma (t)ight),dt=fleft(gamma (b)ight)-fleft(gamma (a)ight).}$

Следовательно, интеграл от грамм над γ нет зависят от фактического пути γ, но только от его конечных точек, что мы и хотели показать.

Достаточность

Далее мы покажем, что если грамм голоморфен, а интеграл от грамм по любому пути зависит только от конечных точек, тогда грамм имеет первообразную. Мы сделаем это, явно найдя антипроизводную.

Без ограничения общности можно считать, что область U из грамм связно, иначе можно доказать существование первообразной на каждой компоненте связности. Исходя из этого предположения, зафиксируем точку z₀ в U и для любого z в U определить функцию

${displaystyle f(z)=int _{gamma }!g(zeta ),dzeta }$

где γ - любой путь, соединяющий z₀ к z. Такой путь существует, поскольку U считается открытым связным множеством. Функция ж корректно определено, поскольку интеграл зависит только от концов кривой γ.

Что это ж является первообразной от грамм можно аргументировать так же, как и в реальном случае. У нас есть для данного z в U, что должен существовать диск с центром в z и содержится полностью внутри U. Тогда для каждого ш Кроме как z на этом диске

${displaystyle {egin{aligned}left|{frac {f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)ight|&=left|int _{z}^{w}{frac {g(zeta ),dzeta }{w-z}}-int _{z}^{w}{frac {g(z),dzeta }{w-z}}ight|&leq int _{z}^{w}{frac {|g(zeta )-g(z)|}{|w-z|}},dzeta &leq sup _{zeta in [w,z]}|g(zeta )-g(z)|,end{aligned}}}$

где [z, ш] обозначает отрезок прямой между z и ш. По преемственности грамм, окончательное выражение обращается в ноль при ш подходы z. Другими словами, f ′ = грамм.

Рекомендации

• Ян Стюарт, Дэвид О. Толл (10 марта 1983 г.). Комплексный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-28763-4.
• Алан Д. Соломон (1 января 1994 г.). Основы комплексных переменных I. Доц. Исследований и образования ISBN  0-87891-661-X.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Основные теоремы исчисления». MathWorld.