Нормальная конвергенция - Normal convergence

В математика нормальная конвергенция это тип конвергенция за серии из функции. Нравиться абсолютная сходимость, он имеет то полезное свойство, что сохраняется при изменении порядка суммирования.

История

Понятие нормальной сходимости было впервые введено Рене Бэр в 1908 г. в своей книге Leçons sur les théories générales de l'analyse.

Определение

Учитывая набор S и функции ${ displaystyle f_ {n}: S to mathbb {C}}$ (или любому нормированное векторное пространство ), сериал

{ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} е_ {п} (х)}

называется нормально сходящийся если серия единые нормы членов ряда сходится,^[1] т.е.

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | f_ {n} |: = sum _ {n = 0} ^ { infty} sup _ {S} | f_ {n} (x) | < infty.}

Отличия

Нормальная конвергенция подразумевает, но не следует путать с равномерная абсолютная сходимость, т.е. равномерная сходимость ряда неотрицательных функций ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} | е_ {п} (х) |}$ . Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим

{ displaystyle f_ {n} (x) = { begin {cases} 1 / n, & x = n, 0, & x neq n. end {cases}}}

Тогда сериал ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} | е_ {п} (х) |}$ сходится равномерно (для любого ε брать п ≥ 1/ε), но ряд равномерных норм - это гармонический ряд и таким образом расходится. Пример использования непрерывных функций можно сделать, заменив эти функции функциями рельефа высотой 1 /п и шириной 1 с центром в каждом натуральном числеп.

Кроме того, нормальная сходимость ряда отличается от сходимость норм-топологии, т.е. сходимость последовательности частичных сумм в топологии, индуцированной равномерной нормой. Нормальная сходимость влечет сходимость топологии нормы тогда и только тогда, когда рассматриваемое пространство функций имеет вид полный относительно равномерной нормы. (Обратное неверно даже для полных функциональных пространств: например, рассмотрите гармонический ряд как последовательность постоянных функций).

Обобщения

Локальная нормальная конвергенция

Ряд можно назвать «локально нормально сходящимся на Икс"если каждая точка Икс в Икс есть район U такой, что ряд функций ƒ_п ограничено доменом U

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f_ {n} mid _ {U}}

обычно сходится, т.е. такая, что

{ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} | е_ {п} | _ {U} < infty}

где норма ${ Displaystyle | cdot | _ {U}}$ является супремумом по областиU.

Компактная нормальная сходимость

Говорят, что ряд нормально сходится на компактных подмножествах Икс"или" компактно нормально сходящиеся на Икс"если для каждого компактного подмножества K из Икс, ряд функций ƒ_п ограниченный K

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f_ {n} mid _ {K}}

обычно сходится наK.

Примечание: если Икс является локально компактный (даже в самом слабом смысле) локальная нормальная сходимость и компактная нормальная сходимость эквивалентны.

Характеристики

Каждый нормальный сходящийся ряд сходится равномерно, локально равномерно сходится и компактно равномерно сходится. Это очень важно, поскольку гарантирует, что любое изменение порядка ряда, любые производные или интегралы ряда, а также суммы и произведения с другими сходящимися рядами будут сходиться к «правильному» значению.
Если ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} е_ {п} (х)}$ обычно сходится к ${ displaystyle f}$ , то любая перестановка последовательности (ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃ ...) также сходится нормально к тому же ƒ. То есть на каждый биекция ${ Displaystyle тау: mathbb {N} to mathbb {N}}$ , ${ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} е _ { тау (п)} (х)}$ обычно сходится к ${ displaystyle f}$ .