Теорема Рунджса - Runges theorem

Для голоморфной функции ж на синем компакте и по точке в каждой дырке можно приблизительно ж а также желаемым рациональными функциями, имеющими полюсы только в этих трех точках.

В комплексный анализ, Теорема Рунге (также известен как Аппроксимационная теорема Рунге) назван в честь немецкого математика Карл Рунге кто первым доказал это в 1885 году. В нем говорится следующее:

Обозначается C набор сложные числа, позволять K быть компактное подмножество из C и разреши ж быть функция который голоморфный на открытом наборе, содержащем K. Если А это набор, содержащий хотя бы один комплексное число от каждого ограниченный связный компонент из C\K тогда существует последовательность ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ из рациональные функции который сходится равномерно к ж на K и такой, что все полюса функций ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ находятся в А.

Обратите внимание, что не каждое комплексное число в А должен быть полюсом каждой рациональной функции последовательности ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Мы просто знаем, что для всех членов ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ который делать есть полюса, эти полюса лежат в А.

Одним из аспектов, который делает эту теорему столь мощной, является то, что можно выбрать множество А произвольно. Другими словами, можно выбрать любой комплексные числа из ограниченных компонент связности C\K и теорема гарантирует существование последовательности рациональных функций с полюсами только среди этих выбранных чисел.

Для особого случая, когда C\K является связным множеством (в частности, когда K односвязно) множество А в теореме явно будет пустым. Поскольку рациональные функции без полюсов просто многочлены, получаем следующее следствие: Если K компактное подмножество C такой, что C\K является связным множеством, а ж является голоморфной функцией на открытом множестве, содержащем K, то существует последовательность многочленов ${\displaystyle (p_{n})}$ это приближается ж равномерно на K (предположения можно смягчить, см. Теорема Мергеляна ).

Теорема Рунге обобщает следующее: можно взять А быть подмножеством Сфера Римана C∪ {∞} и потребуем, чтобы А пересекаются также с неограниченной связной компонентой K (который теперь содержит ∞). То есть в приведенной выше формулировке рациональные функции могут иметь полюс на бесконечности, в то время как в более общей формулировке полюс может быть выбран вместо этого где угодно в неограниченной компоненте связности C\K.

Доказательство

Элементарное доказательство, данное в Сарасон (1998), происходит следующим образом. В открытом множестве существует замкнутый кусочно-линейный контур Γ, содержащий K в его интерьере. К Интегральная формула Коши

${\displaystyle f(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\,dz \over z-w}}$

за ш в K. Аппроксимирующие суммы Римана можно использовать для равномерного приближения контурного интеграла по K. Каждый член в сумме является скалярным кратным (z − ш)⁻¹ в какой-то момент z по контуру. Это дает равномерное приближение рациональной функцией с полюсами на Γ.

Чтобы изменить это на приближение с полюсами в определенных точках в каждом компоненте дополнения K, достаточно проверить это для условий формы (z − ш)⁻¹. Если z₀ точка в том же компоненте, что и zвозьмем кусочно-линейный путь из z к z₀. Если две точки расположены достаточно близко на пути, любая рациональная функция с полюсами только в первой точке может быть разложена в ряд Лорана по второй точке. Этот ряд Лорана можно усечь, чтобы дать рациональную функцию с полюсами только во второй точке, равномерно близкой к исходной функции на K. Двигаясь ступенями по тропинке от z к z₀ исходная функция (z − ш)⁻¹ могут быть последовательно изменены, чтобы дать рациональную функцию с полюсами только в z₀.

Если z₀ - бесконечно удаленная точка, то по описанной выше процедуре рациональная функция (z − ш)⁻¹ можно сначала аппроксимировать рациональной функцией грамм с шестами на р > 0 где р настолько велик, что K лежит в ш < р. Разложение в ряд Тейлора грамм около 0 затем можно усечь, чтобы получить полиномиальное приближение на K.

Смотрите также

• Теорема Мергеляна

Рекомендации

• Конвей, Джон Б. (1997), Курс функционального анализа (2-е изд.), Springer, ISBN  0-387-97245-5
• Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций одной комплексной переменной (2-е изд.) Американского математического общества, ISBN  0-8218-2905-X
• Сарасон, Дональд (1998), Заметки по теории сложных функций, Тексты и материалы по математике, 5, Книжное агентство Hindustan, стр. 108–115, ISBN  81-85931-19-4

внешняя ссылка

• «Теорема Рунге», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]