Теорема начбинса - Nachbins theorem

Эта статья посвящена теореме Нахбина о комплексном анализе. О теореме Нахбина по теории приближений см. Теорема Стоуна – Вейерштрасса § Теорема Нахбина.

В математика, в районе комплексный анализ, Теорема Нахбина (названный в честь Леопольдо Начбин ) обычно используется для установления границы скорости роста аналитическая функция. В этой статье дается краткий обзор темпов роста, включая идею функция экспоненциального типа. Классификация темпов роста по типу помогает предоставить более тонкий инструмент, чем большой O или же Обозначения Ландау, поскольку ряд теорем об аналитическом строении ограниченной функции и ее интегральные преобразования можно констатировать. В частности, теорема Нахбина может быть использована для определения области сходимости обобщенное преобразование Бореля, приведен ниже.

Экспоненциальный тип

Основная статья: Экспоненциальный тип

Функция ж(z), определенные на комплексная плоскость называется экспоненциальным типом, если существуют константы M и α такие, что

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}$

в пределах ${\displaystyle r\to \infty }$. Здесь комплексная переменная z был написан как ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ чтобы подчеркнуть, что предел должен соблюдаться во всех направлениях θ. Пусть α обозначает инфимум всех таких α, тогда говорят, что функция ж имеет экспоненциальный тип α.

Например, пусть ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$. Тогда говорят, что ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ имеет экспоненциальный тип π, поскольку π - наименьшее число, ограничивающее рост ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ вдоль мнимой оси. Итак, в этом примере Теорема Карлсона не может применяться, так как требует функций экспоненциального типа меньше, чем π.

Ψ тип

Ограничение может быть определено для других функций, помимо экспоненциальной функции. В общем, функция ${\displaystyle \Psi (t)}$ это функция сравнения если у него есть серия

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

с ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$ для всех п, и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

Функции сравнения обязательно весь, что следует из тест соотношения. Если ${\displaystyle \Psi (t)}$ такая функция сравнения, тогда говорят, что ж имеет Ψ-тип, если существуют постоянные M и τ такой, что

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

в качестве ${\displaystyle r\to \infty }$. Если τ - нижняя грань всех таких τ один говорит, что ж имеет Ψ-тип τ.

Теорема Нахбина утверждает, что функция ж(z) с серией

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

имеет Ψ-тип τ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

Преобразование Бореля

Теорема Нахбина находит немедленное применение в Теорема Коши -подобные ситуации, и для интегральные преобразования. Например, обобщенное преобразование Бореля дан кем-то

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

Если ж имеет Ψ-тип τ, то внешность области сходимости ${\displaystyle F(w)}$, и все его особые точки содержатся внутри круга

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

Кроме того, есть

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

где контур интеграции γ окружает диск ${\displaystyle |w|\leq \tau }$. Это обобщает обычные Преобразование Бореля для экспоненциального типа, где ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$. Также следует интегральная форма для обобщенного преобразования Бореля. Позволять ${\displaystyle \alpha (t)}$ - функция, первая производная которой ограничена на интервале ${\displaystyle [0,\infty )}$, так что

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

куда ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$. Тогда интегральная форма обобщенного преобразования Бореля имеет вид

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

Обычное преобразование Бореля восстанавливается установкой ${\displaystyle \alpha (t)=e^{-t}}$. Обратите внимание, что интегральная форма преобразования Бореля - это просто Преобразование Лапласа.

Пересуммация Нахбина

Пересуммирование Нахбина (обобщенное преобразование Бореля) можно использовать для суммирования расходящихся рядов, которые уходят к обычному Суммирование по Борелю или даже решить (асимптотически) интегральные уравнения вида:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

куда ж(т) может иметь экспоненциальный рост, а может и нет, и ядро K(ты) имеет Преобразование Меллина. Решение может быть получено как ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$ с ${\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$ и M(п) - преобразование Меллина K(ты). Примером этого является серия Gram ${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

в некоторых случаях в качестве дополнительного условия мы требуем ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$ быть конечным для ${\displaystyle n=0,1,2,3,...}$ и отличается от 0.

Fréchet space

Коллекции функций экспоненциального типа ${\displaystyle \tau }$ может сформировать полный однородное пространство, а именно Fréchet space, посредством топология индуцированный счетным семейством нормы

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

Смотрите также

• Расходящаяся серия
• Суммирование по Борелю
• Суммирование Эйлера
• Чезаро суммирование
• Суммирование Ламберта
• Суммирование Миттаг-Леффлера
• Принцип Фрагмена – Линделёфа
• Абелевы и тауберовы теоремы
• Преобразование Ван Вейнгаардена

Рекомендации

• Л. Нахбин, "Расширение понятия целых функций конечного экспоненциального типа", Anais Acad. Бразилия. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
• Ральф П. Боас младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (исправлено второе издание)(1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263. (Предоставляет утверждение и доказательство теоремы Нахбина, а также общий обзор этой темы.)
• Леонтьев А.Ф. (2001) [1994], «Функция экспоненциального типа», Энциклопедия математики, EMS Press
• Леонтьев А.Ф. (2001) [1994], «Преобразование Бореля», Энциклопедия математики, EMS Press