Теорема Карлсона - Carlsons theorem

В математика, в районе комплексный анализ, Теорема Карлсона это теорема единственности который был обнаружен Фриц Дэвид Карлсон. Неформально он заявляет, что две разные аналитические функции, которые не очень быстро растут на бесконечности, не могут совпадать в целых числах. Теорема может быть получена из Теорема Фрагмена – Линделёфа, который сам является продолжением теорема о максимальном модуле.

Теорема Карлсона обычно используется для защиты уникальности Серия Ньютон расширение. Теорема Карлсона имеет обобщенные аналоги для других разложений.

Заявление

Предположить, что $ж$ удовлетворяет следующим трем условиям: первые два условия ограничивают рост $ж$ на бесконечности, а третий утверждает, что $ж$ обращается в нуль на неотрицательных целых числах.

$ж (z)$ является вся функция из экспоненциальный тип, означающий, что

{ Displaystyle | е (Z) | leq Ce ^ { tau | z |}, quad z in mathbb {C}}

для некоторых реальных ценностей

C

,

τ

.

Существует $c < π$ такой, что

{ Displaystyle | е (iy) | leq Ce ^ {c | y |}, quad y in mathbb {R}}

$ж (п) = 0$ для любого неотрицательного целого числа $п$ .

потом $ж$ тождественно нулю.

Острота

Первое условие

Первое условие можно ослабить: достаточно предположить, что $ж$ аналитичен в $Re z > 0$ , непрерывно в $Re z \geq 0$ , и удовлетворяет

{ Displaystyle | е (z) | leq Ce ^ { tau | z |}, quad operatorname {Re} z> 0}

для некоторых реальных ценностей $C$ , $τ$ .

Второе условие

Чтобы убедиться в точности второго условия, рассмотрим функцию $ж (z) = грех (π z)$ . Он исчезает на целых числах; однако он экспоненциально растет на мнимой оси со скоростью роста $c = π$ , и действительно, он не равен тождественно нулю.

Третье условие

Результат, благодаря Рубель (1956), ослабляет условие, что $ж$ обращаются в нуль на целых числах. А именно, Рубель показал, что заключение теоремы остается в силе, если $ж$ исчезает на подмножестве $А \subset {0, 1, 2, \dots}$ из верхняя плотность 1, что означает, что

{ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac { left | A cap {0,1, cdots, n-1 } right |} {n}} = 1.}

Это условие является точным, что означает, что теорема неверна для множеств $А$ верхней плотности меньше 1.

Приложения

Предполагать $ж (z)$ - функция, обладающая всеми конечными форвардные различия ${ displaystyle Delta ^ {n} f (0)}$ . Рассмотрим тогда Серия Ньютон

{ displaystyle g (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} {z choose n} Delta ^ {n} f (0)}

с ${ Displaystyle {г выбрать п}}$ это биномиальный коэффициент и ${ displaystyle Delta ^ {n} f (0)}$ это $п$ -го форвардная разница. По построению тогда имеем $ж (k) = грамм (k)$ для всех неотрицательных целых чисел $k$ , так что разница $час (k) = ж (k) - грамм (k) = 0$ . Это одно из условий теоремы Карлсона; если $час$ подчиняется остальным, тогда $час$ тождественно нулю, а конечные разности для $ж$ однозначно определяют его ряд Ньютона. То есть, если ряд Ньютона для $ж$ существует, а разница удовлетворяет условиям Карлсона, то $ж$ уникален.