Принцип Фрагмена – Линделёфа - Phragmén–Lindelöf principle

В комплексный анализ, то Принцип Фрагмена – Линделёфа (или же метод), впервые сформулированная Ларс Эдвард Фрагмен (1863–1937) и Эрнст Леонард Линделёф (1870–1946) в 1908 г., представляет собой метод, в котором используется вспомогательная параметризованная функция для доказательства ограниченности голоморфной функции. ${\displaystyle f}$ (т.е. ${\displaystyle |f(z)|<M\ \ (z\in \Omega )}$) на неограниченной области ${\displaystyle \Omega }$ при наличии дополнительного (обычно мягкого) условия, сдерживающего рост ${\displaystyle |f|}$ на ${\displaystyle \Omega }$ дано. Это обобщение принцип максимального модуля, что применимо только к ограниченным областям.

Фон

В теории сложных функций известно, что модуль (абсолютное значение) голоморфный (комплексная дифференцируемая) функция внутри ограниченный область ограничена своим модулем на границе области. Точнее, если непостоянная функция ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ голоморфна в ограниченной области^[1] ${\displaystyle \Omega }$ и непрерывный по его закрытию ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }$, тогда ${\textstyle |f(z_{0})|<\sup _{z\in \partial \Omega }|f(z)|}$ для всех ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$. Это известно как принцип максимального модуля. (Фактически, поскольку ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ компактный и ${\displaystyle |f|}$ непрерывно, действительно существует ${\displaystyle w_{0}\in \partial \Omega }$ такой, что ${\textstyle |f(w_{0})|=\sup _{z\in \partial \Omega }|f(z)|}$.) Принцип максимума модуля обычно используется для заключения, что голоморфная функция ограничена в области, после того, как показано, что она ограничена на ее границе.

Однако принцип максимума модуля не может быть применен к неограниченной области комплексной плоскости. В качестве конкретного примера рассмотрим поведение голоморфной функции ${\displaystyle f(z)=\exp(\exp(z))}$ в безграничной полосе

${\displaystyle S={\Big \{}z:\Im (z)\in {\big (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\big )}{\Big \}}}$.

Несмотря на то что ${\displaystyle |f(x\pm \pi i/2)|=1}$, так что ${\displaystyle |f|}$ ограничен на границе ${\displaystyle \partial S}$, ${\displaystyle |f|}$ быстро растет без ограничений, когда ${\displaystyle |z|\to \infty }$ вдоль положительной действительной оси. Сложность здесь связана с чрезвычайно быстрым ростом ${\displaystyle |f|}$ вдоль положительной действительной оси. Если темп роста ${\displaystyle |f|}$ гарантированно не будет "слишком быстрым", как указано в соответствующем условии роста, Принцип Фрагмена – Линделёфа можно применить, чтобы показать, что ограниченность ${\displaystyle f}$ на границе области следует, что ${\displaystyle f}$ фактически ограничен во всей области, эффективно распространяя принцип максимума модуля на неограниченные области.

Краткое описание техники

Предположим, нам дана голоморфная функция ${\displaystyle f}$ и безграничный регион ${\displaystyle S}$, и мы хотим показать, что ${\displaystyle |f|\leq M}$ на ${\displaystyle S}$. В типичном аргументе Фрагмена – Линделёфа мы вводим некоторый мультипликативный множитель ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ удовлетворение ${\textstyle \lim _{\epsilon \to 0}h_{\epsilon }=1}$ "покорить" рост ${\displaystyle f}$. Особенно, ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ выбирается так, что (i): ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ голоморфна для всех ${\displaystyle \epsilon >0}$ и ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ на границе ${\displaystyle \partial S_{\mathrm {bdd} }}$ соответствующего ограниченный субрегион ${\displaystyle S_{\mathrm {bdd} }\subset S}$; и (ii): асимптотическое поведение ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ позволяет нам установить, что ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ за ${\displaystyle z\in S\setminus {\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}}$ (т.е. неограниченная часть ${\displaystyle S}$ вне замыкания ограниченной подобласти). Это позволяет нам применить принцип максимального модуля, чтобы сначала сделать вывод, что ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ на ${\displaystyle {\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}}$ а затем распространить заключение на все ${\displaystyle z\in S}$. Наконец, мы позволили ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ так что ${\displaystyle f(z)h_{\epsilon }(z)\to f(z)}$ для каждого ${\displaystyle z\in S}$ чтобы сделать вывод, что ${\displaystyle |f|\leq M}$ на ${\displaystyle S}$.

В литературе по комплексному анализу существует множество примеров применения принципа Фрагмена – Линделёфа к неограниченным областям разных типов, а также вариант этого принципа может быть применен аналогичным образом к субгармоника и супергармонические функции.

Пример применения

Чтобы продолжить приведенный выше пример, мы можем наложить условие роста на голоморфную функцию ${\displaystyle f}$ это предотвращает его «взрыв» и позволяет применять принцип Фрагмена – Линделёфа. С этой целью мы теперь включаем условие, что

${\displaystyle |f(z)|<\exp {\big (}A\exp(c\cdot |\Re (z)|){\big )}}$

для некоторых реальных констант ${\displaystyle c<1}$ и ${\displaystyle A<\infty }$, для всех ${\displaystyle z\in S}$. Затем можно показать, что ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle z\in \partial S}$ подразумевает, что ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ на самом деле справедливо для всех ${\displaystyle z\in S}$. Таким образом, мы имеем следующее утверждение:

Предложение. Позволять

${\displaystyle S={\Big \{}z:\Im (z)\in {\big (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\big )}{\Big \}},\quad {\overline {S}}={\Big \{}z:\Im (z)\in {\big [}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\big ]}{\Big \}}}$.

Позволять ${\displaystyle f}$ быть голоморфным на ${\displaystyle S}$ и продолжаю ${\displaystyle {\overline {S}}}$, и предположим, что существуют действительные постоянные ${\displaystyle c<1,\ A<\infty }$ такой, что

${\displaystyle |f(z)|<\exp {\big (}A\exp(c\cdot |\Re (z)|){\big )}}$

для всех ${\displaystyle z\in S}$ и ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle z\in {\overline {S}}\setminus S=\partial S}$. потом ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle z\in S}$.

Обратите внимание, что этот вывод неверен, когда ${\displaystyle c=1}$, в точности как показывает мотивирующий контрпример из предыдущего раздела. Доказательство этого утверждения использует типичный аргумент Фрагмена – Линделёфа:^[2]

Доказательство: (Эскиз) Мы исправляем ${\displaystyle b\in (c,1)}$ и определить для каждого ${\displaystyle \epsilon >0}$ вспомогательная функция ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ к ${\textstyle h_{\epsilon }(z)=e^{-\epsilon (e^{bz}+e^{-bz})}}$. Более того, для данного ${\displaystyle a>0}$, мы определяем ${\displaystyle S_{a}}$ быть открытым прямоугольником в комплексной плоскости, заключенным внутри вершин ${\displaystyle \{a\pm i\pi /2,-a\pm i\pi /2\}}$. Теперь исправим ${\displaystyle \epsilon >0}$ и рассмотрим функцию ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$. Можно показать, что ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\to 0}$ в качестве ${\displaystyle |\Re (z)|\to \infty }$. Это позволяет нам найти ${\displaystyle x_{0}}$ такой, что ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ в любое время ${\displaystyle z\in {\overline {S}}}$ и ${\displaystyle |\Re (z)|\geq x_{0}}$. Потому что ${\displaystyle S_{x_{0}}}$ - ограниченная область, а ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle z\in \partial S_{x_{0}}}$, из принципа максимума модуля следует, что ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle z\in {\overline {S_{x_{0}}}}}$. С ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ в любое время ${\displaystyle z\in S}$ и ${\displaystyle |\Re (z)|>x_{0}}$, ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ на самом деле справедливо для всех ${\displaystyle z\in S}$. Наконец, потому что ${\displaystyle fh_{\epsilon }\to f}$ в качестве ${\displaystyle \epsilon \to 0}$, заключаем, что ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle z\in S}$. ∎

Принцип Фрагмена – Линделёфа для сектора комплексной плоскости.

Особенно полезное утверждение, доказанное с помощью принципа Фрагмена – Линделёфа, ограничивает голоморфные функции на секторе комплексной плоскости, если он ограничен на своей границе. Это утверждение можно использовать для комплексного аналитического доказательства Харди принцип неопределенности, который утверждает, что функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно убывать быстрее, чем экспоненциально.^[3]

Предложение. Позволять ${\displaystyle F}$ быть функцией, которая голоморфный в сектор

${\displaystyle S=\left\{z\,{\big |}\,\alpha <\arg z<\beta \right\}}$

центрального угла ${\displaystyle \beta -\alpha =\pi /\lambda }$, и непрерывный на его границе. Если

${\displaystyle |F(z)|\leq 1}$

(1)

за ${\displaystyle z\in \partial S}$, и

${\displaystyle |F(z)|\leq e^{C|z|^{\rho }}}$

(2)

для всех ${\displaystyle z\in S}$, куда ${\displaystyle \rho \in [0,\lambda )}$ и ${\displaystyle C>0}$, тогда (1) выполняется также для всех ${\displaystyle z\in S}$.

Замечания

• Условие (2) можно расслабить до

${\displaystyle \liminf _{r\to \infty }\sup _{\alpha <\theta <\beta }{\frac {\log |F(re^{i\theta })|}{r^{\rho }}}=0\quad {\text{for some}}\quad 0\leq \rho <\lambda ~,}$

(3)

с таким же выводом.

Особые случаи

На практике точка 0 часто превращается в точку ∞ Сфера Римана. Это дает версию принципа, который применяется к полосам, например, ограниченным двумя линиями постоянных реальная часть в комплексной плоскости. Этот особый случай иногда называют Теорема Линделёфа.

Теорема Карлсона является применением принципа к функциям, ограниченным на мнимой оси.

Рекомендации

1. Период, термин область, край не всегда используется в литературе; здесь область, край под непустым связным открытым подмножеством комплексной плоскости.
2. Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 257–259. ISBN  0070542341.
3. Тао, Теренс (2009-02-18). «Принцип неопределенности Харди». Обновления моих исследований и пояснительных статей, обсуждение открытых задач и другие темы, связанные с математикой. Теренс Тао.

• Фрагмен, Ларс Эдвард; Линделёф, Эрнст (1908). "Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier" (PDF). Acta Math. 31 (1): 381–406. Дои:10.1007 / BF02415450. ISSN  0001-5962.
• Рис, Марсель (1920). "Sur le principe de Phragmén-Lindelöf". Труды Кембриджского философского общества. 20. (Корр. "Sur le principe de Phragmén-Lindelöf". 21. 1921. )
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1976). Теория функций (Второе изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853349-7. (См. Главу 5)
• E.D. Соломенцев (2001) [1994], "Теорема Фрагмена – Линделёфа", Энциклопедия математики, EMS Press
• Штейн, Элиас М. и Шакарчи, Рами (2003). Комплексный анализ. Принстонские лекции по анализу, II. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-11385-8.