Интеграция по волокнам - Integration along fibers

В дифференциальная геометрия, то интеграция вдоль волокон из k-форма дает ${\displaystyle (k-m)}$-form где м - размер волокна, полученный методом «интегрирования».

Определение

Позволять ${\displaystyle \pi :E\to B}$ быть пучок волокон через многообразие с компактными ориентированными волокнами. Если ${\displaystyle \alpha }$ это k-форма на E, то для касательных векторов ш_я'сидел б, позволять

${\displaystyle (\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{k-m})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta }$

куда ${\displaystyle \beta }$ - индуцированная топ-форма на слое ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$; т.е. ${\displaystyle m}$-форма предоставлена: с ${\displaystyle {\widetilde {w_{i}}}}$ лифты ${\displaystyle w_{i}}$ к E,

${\displaystyle \beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{k-m}}}).}$

(Чтобы увидеть ${\displaystyle b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}}$ плавный, проработанный в координатах; ср. пример ниже.)

потом ${\displaystyle \pi _{*}}$ линейная карта ${\displaystyle \Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{k-m}(B)}$. По формуле Стокса, если волокна не имеют границ (т.е. ${\displaystyle [d,\int ]=0}$) карта спускается в когомологии де Рама:

${\displaystyle \pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathbb {R} ).}$

Это также называется интеграцией волокна.

Теперь предположим ${\displaystyle \pi }$ это связка сфер; т.е. типичное волокно - сфера. Тогда есть точная последовательность ${\displaystyle 0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0}$, K ядро, что приводит к длинной точной последовательности, понижающей коэффициент ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и используя ${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)}$:

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots }$,

называется Последовательность гизина.

Пример

Позволять ${\displaystyle \pi :M\times [0,1]\to M}$ быть очевидной проекцией. Сначала предположим ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ с координатами ${\displaystyle x_{j}}$ и рассмотрим k-форма:

${\displaystyle \alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.}$

Затем в каждой точке в M,

${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.}$^[1]

Из этого локального расчета легко следует следующая формула: если ${\displaystyle \alpha }$ есть ли k-форма на ${\displaystyle M\times I,}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )}$

куда ${\displaystyle \alpha _{i}}$ это ограничение ${\displaystyle \alpha }$ к ${\displaystyle M\times \{i\}}$.

В качестве приложения этой формулы пусть ${\displaystyle f:M\times [0,1]\to N}$ быть гладкой картой (рассматриваемой как гомотопия). Тогда композиция ${\displaystyle h=\pi _{*}\circ f^{*}}$ это оператор гомотопии:

${\displaystyle d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),}$

что подразумевает ${\displaystyle f_{1},f_{0}}$ индуцирует такое же отображение на когомологиях, факт, известный как гомотопическая инвариантность когомологий де Рама. В качестве следствия, например, пусть U быть открытым мячом в р^п с центром в начале координат и пусть ${\displaystyle f_{t}:U\to U,x\mapsto tx}$. потом ${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )}$, факт, известный как Лемма Пуанкаре.

Формула проекции

Учитывая векторное расслоение π : E → B над многообразием мы говорим дифференциальную форму α на E имеет вертикально-компактную опору, если ограничение ${\displaystyle \alpha |_{\pi ^{-1}(b)}}$ имеет компактную опору для каждого б в B. Мы пишем ${\displaystyle \Omega _{vc}^{*}(E)}$ для векторного пространства дифференциальных форм на E с вертикально-компактной опорой. E является ориентированный как векторное расслоение, как и раньше, мы можем определить интегрирование по слою:

${\displaystyle \pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).}$

Следующая формула называется формулой проекции.^[2] Мы делаем ${\displaystyle \Omega _{vc}^{*}(E)}$ право ${\displaystyle \Omega ^{*}(B)}$-модуль, установив ${\displaystyle \alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta }$.

Предложение — Позволять ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ориентированное векторное расслоение над многообразием и ${\displaystyle \pi _{*}}$ интеграция по волокну. потом

1. ${\displaystyle \pi _{*}}$ является ${\displaystyle \Omega ^{*}(B)}$-линейный; т.е. для любой формы β на B и любая форма α на E с вертикально-компактной опорой,

   ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\pi _{*}\alpha \wedge \beta .}$

2. Если B ориентирован как многообразие, то для любой формы α на E с вертикальной компактной опорой и любой формой β на B с компактной опорой,

   ${\displaystyle \int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta }$.

Доказательство: 1. Поскольку утверждение локально, можно считать π тривиально: т.е. ${\displaystyle \pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B}$ это проекция. Позволять ${\displaystyle t_{j}}$ - координаты на волокне. Если ${\displaystyle \alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta }$, то, поскольку ${\displaystyle \pi ^{*}}$ - гомоморфизм колец,

${\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .}$

Точно так же обе стороны равны нулю, если α не содержит dt. Доказательство 2. аналогично. ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Карта трансгрессии

Примечания

1. Если ${\displaystyle \alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}}$, то в точке б из M, определяя ${\displaystyle \partial _{x_{j}}}$с их подъемниками, у нас есть:

   ${\displaystyle \beta (\partial _{t})=\alpha (\partial _{t},\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=g(b,t)}$

   и так

   ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=\int _{[0,1]}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.}$

   Следовательно, ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.}$Таким же расчетом ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )=0}$ если dt не появляется в α.
2. Ботт-Ту 1982, Предложение 6.15. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBott − Tu1982 (помощь); обратите внимание, что они используют другое определение, чем здесь, что приводит к изменению знака.

Рекомендации

• Мишель Один, Действия тора на симплектических многообразиях, Бирхаузер, 2004
• Ботт, Рауль; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-90613-4