Функтор обратного изображения - Inverse image functor

В математике, особенно в алгебраическая топология и алгебраическая геометрия, функтор обратного изображения это контравариантный строительство снопы; здесь «контравариантный» в смысле данного отображения ${\displaystyle f:X\to Y}$, прообраз функтор является функтором от категория пучков на Y в категорию пучков на Икс. В функтор прямого изображения является основной операцией на пучках с простейшим определением. Обратное изображение демонстрирует некоторые относительно тонкие особенности.

Определение

Предположим, нам дан пучок ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ на ${\displaystyle Y}$ и что мы хотим перевезти ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ к ${\displaystyle X}$ используя непрерывная карта ${\displaystyle f\colon X\to Y}$.

Результат назовем обратное изображение или же откат пучок ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$. Если мы попытаемся подражать прямое изображение установив

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}$

для каждого открытого набора ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle X}$, сразу сталкиваемся с проблемой: ${\displaystyle f(U)}$ не обязательно открыто. Лучшее, что мы могли сделать, - это аппроксимировать его открытыми множествами, и даже тогда мы получим предпучка а не связкой. Следовательно, мы определяем ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ быть связка, связанная с предпучкой:

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}$

(Здесь ${\displaystyle U}$ открытое подмножество ${\displaystyle X}$ и копредел проходит по всем открытым подмножествам ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle Y}$ содержащий ${\displaystyle f(U)}$.)

Например, если ${\displaystyle f}$ это просто включение точки ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle Y}$, тогда ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ это просто стебель из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на этой точке.

Карты ограничений, а также функториальность прообраза следует из универсальная собственность из прямые ограничения.

При работе с морфизмы ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ из локально окольцованные пространства, Например схемы в алгебраическая геометрия, часто работают с снопы ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-модули, куда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ структурный пучок ${\displaystyle Y}$. Тогда функтор ${\displaystyle f^{-1}}$ неуместен, потому что вообще не дает даже связок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модули. Чтобы исправить это, в этой ситуации определяют пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-модули ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ его прообраз

${\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$.

Характеристики

• Пока ${\displaystyle f^{-1}}$ определить сложнее, чем ${\displaystyle f_{\ast }}$, то стебли легче вычислить: учитывая точку ${\displaystyle x\in X}$, надо ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$.
• ${\displaystyle f^{-1}}$ является точный функтор, как видно из приведенного выше расчета стеблей.
• ${\displaystyle f^{*}}$ является (в общем) только правильным. Если ${\displaystyle f^{*}}$ точно, ж называется плоский.
• ${\displaystyle f^{-1}}$ это левый смежный из функтор прямого изображения ${\displaystyle f_{\ast }}$. Это означает, что существуют естественные морфизмы единиц и коит ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ и ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$. Эти морфизмы дают естественное соответствие присоединения:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

Однако морфизмы ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ и ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ находятся Больше никогда изоморфизмы. Например, если ${\displaystyle i\colon Z\to Y}$ обозначает включение замкнутого подмножества, стебель ${\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}$ в какой-то момент ${\displaystyle y\in Y}$ канонически изоморфна ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}$ если ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle 0}$ иначе. Аналогичное присоединение справедливо для случая пучков модулей, заменяя ${\displaystyle i^{-1}}$ к ${\displaystyle i^{*}}$.

Рекомендации

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-16389-3, МИСТЕР  0842190. См. Раздел II.4.