Функторы изображений для пучков - Image functors for sheaves

В математика, особенно в теория связок - домен, применяемый в таких областях, как топология, логика и алгебраическая геометрия -Есть четыре функторы изображений для пучков которые принадлежат друг другу в разных смыслах.

Учитывая непрерывное отображение ж: Икс → Y из топологические пространства, а категория Ш (-) связок абелевы группы на топологическом пространстве. Рассматриваемые функторы:

• прямое изображение ж_∗ : Sh (Икс) → Ш (Y)
• обратное изображение ж^∗ : Sh (Y) → Ш (Икс)
• прямое изображение с компактной опорой ж_! : Sh (Икс) → Ш (Y)
• исключительный инверсный образ Rf^! : D(Ш (Y)) → D(Ш (Икс)).

В восклицательный знак часто произносится "визжать "(сленг для восклицательного знака), а карты называются"ж визг "или"ж тише вопль "и"ж верхний вопль "- см. также крик карта.

Исключительный прообраз обычно определяется на уровне производные категории Только. Аналогичные соображения применимы к этальные снопы на схемы.

Сопряженность

Функторы прилегающий друг к другу, как показано справа, где, как обычно, ${\displaystyle F\leftrightarrows G}$ Значит это F слева примыкает к грамм (эквивалентно грамм прямо примыкает к F), т.е.

Hom (F(А), B) ≅ Hom (А, грамм(B))

для любых двух объектов А, B в двух категориях, к которым примыкают F и грамм.

Например, ж^∗ левый сопряженный к ж_*. Согласно стандартным рассуждениям, связанным с отношениями присоединения, существуют естественные морфизмы единиц и коит ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{*}{\mathcal {G}}}$ и ${\displaystyle f^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ за ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ на Y и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на Икс, соответственно. Однако это Больше никогда изоморфизмы - см. пример локализации ниже.

Двойственность Вердье

Двойственность Вердье дает еще одну связь между ними: с моральной точки зрения, он меняет местами «∗» и «!», то есть в синопсисе выше он меняет местами функторы по диагоналям. Например, прямое изображение двойное прямому изображению с компактной опорой. Это явление изучается и используется в теории извращенные снопы.

Базовое изменение

Еще одно полезное свойство функторов изображений: изменение базы. Учитывая непрерывные карты ${\displaystyle f:X\rightarrow Z}$ и ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$, которые индуцируют морфизмы ${\displaystyle {\bar {f}}:X\times _{Z}Y\rightarrow Y}$ и ${\displaystyle {\bar {g}}:X\times _{Z}Y\rightarrow X}$, существует канонический изоморфизм ${\displaystyle R{\bar {f}}_{*}R{\bar {g}}^{!}\cong Rf^{!}Rg_{*}}$.

Локализация

В конкретной ситуации замкнутое подпространство я: Z ⊂ Икс и дополнительный открытое подмножество j: U ⊂ Икс, ситуация упрощается постольку, поскольку при j^∗=j^! и я_!=я_∗ и для любой связки F на Икс, получается точные последовательности

0 → j_!j^∗ F → F → я_∗я^∗ F → 0

Его двойное чтение Вердье

я_∗Ri^! F → F → Rj_∗j^∗ F → я_∗Ri^! F[1],

а выдающийся треугольник в производной категории пучков на Икс.

Отношения сопряженности читаются в этом случае

${\displaystyle i^{*}\leftrightarrows i_{*}=i_{!}\leftrightarrows i^{!}}$

и

${\displaystyle j_{!}\leftrightarrows j^{!}=j^{*}\leftrightarrows j_{*}}$.

Рекомендации

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-16389-3, МИСТЕР  0842190 рассматривает топологическую установку
• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3. Конспект лекций по математике (на французском языке). 305. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. vi + 640. Дои:10.1007 / BFb0070714. ISBN  978-3-540-06118-2. Cite использует устаревший параметр | editorlink1 = (помощь) рассматривает случай этальных пучков на схемах. См. Exposé XVIII, раздел 3.
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7 - еще одна ссылка на эталонный корпус.