Теоремы о замене базы - Base change theorems

В математике теоремы об замене базы связать прямое изображение и отступление из снопы. Точнее, они касаются карты изменения базы, представленной следующим естественная трансформация связок:

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

куда

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}$

это Декартов квадрат топологических пространств и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это связка на Икс.

Такие теоремы существуют в разных разделах геометрии: для (по существу произвольных) топологических пространств и собственных отображений ж, в алгебраическая геометрия для (квази) когерентных пучков и ж правильный или грамм квартира, аналогично в аналитическая геометрия, но и для этальные снопы за ж правильный или грамм гладкий.

Вступление

Простое явление изменения базы возникает в коммутативная алгебра когда А это коммутативное кольцо и B и А ' два А-алгебры. Позволять ${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$. В этой ситуации, учитывая B-модуль M, существует изоморфизм ( А ' -модули):

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

Здесь нижний индекс указывает на забывчивый функтор, т. Е. ${\displaystyle M_{A}}$ является M, но рассматривается как А-модуль. Действительно, такой изоморфизм получается наблюдением

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

Таким образом, две операции, а именно забывчивые функторы и тензорные произведения коммутируют в смысле указанного выше изоморфизма. Теоремы замены базы, обсуждаемые ниже, являются утверждениями аналогичного типа.

Определение базовой карты изменения

Все представленные ниже теоремы об замене базы утверждают, что (для разных типов пучков и при различных предположениях относительно задействованных отображений), что следующие карта изменения базы

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

является изоморфизмом, где

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}$

являются непрерывными отображениями между топологическими пространствами, образующими Декартов квадрат и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это связка на Икс.^[1] Здесь ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ обозначает более высокое прямое изображение из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ под ж, т.е. производный функтор функтора прямого изображения (также известного как pushforward) ${\displaystyle f_{*}}$.

Эта карта существует без каких-либо предположений о картах ж и грамм. Он построен следующим образом: поскольку ${\displaystyle g'^{*}}$ является левый смежный к ${\displaystyle g'_{*}}$, есть естественная карта (называемая единичной картой)

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

и так

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

В Спектральная последовательность Гротендика затем дает первую карту и последнюю карту (они являются краевыми картами) в:

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

В сочетании с вышеуказанными доходами

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

Используя сопряженность ${\displaystyle g^{*}}$ и ${\displaystyle g_{*}}$ наконец дает желаемую карту.

Упомянутый выше вводный пример является частным случаем этого, а именно для аффинных схем ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$ и следовательно, ${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$, а квазикогерентный пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}$ связаны с B-модуль M.

Концептуально удобно организовать приведенные выше карты изменения базы, которые включают только один более высокий функтор прямого изображения, в одну, которая кодирует все ${\displaystyle R^{r}f_{*}}$ вовремя. Фактически, аналогичные аргументы, приведенные выше, дают карту в производная категория пучков на S ':

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

куда ${\displaystyle Rf_{*}}$ обозначает (тотальный) производный функтор от ${\displaystyle f_{*}}$.

Общая топология

Правильная смена базы

Если Икс это Хаусдорф топологическое пространство, S это локально компактный Пространство Хаусдорфа и ж универсально замкнуто (т. е. ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$ это закрытая карта для любой непрерывной карты ${\displaystyle T\to S}$), то карта изменения базы

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

является изоморфизмом.^[2] Действительно, имеем: для ${\displaystyle s\in S}$,

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

и так для ${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Для кодирования всех отдельных высших производных функторов ${\displaystyle f_{*}}$ в одну сущность, приведенное выше утверждение можно эквивалентно перефразировать, сказав, что карта изменения базы

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

это квазиизоморфизм.

Предположение о хаусдорфовости рассматриваемых пространств было ослаблено Schnürer & Soergel (2016).

Лурье (2009) распространил приведенную выше теорему на когомологии неабелевых пучков, т.е. пучки, принимающие значения в симплициальные множества (в отличие от абелевых групп).^[3]

Прямое изображение с компактной опорой

Если карта ж не замкнуто, карта смены базы не обязательно должна быть изоморфизмом, как показывает следующий пример (карты являются стандартными включениями):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

Один с одной стороны ${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$ всегда равно нулю, но если ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это локальная система на ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ соответствующий представление из фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ (который изоморфен Z), тогда ${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$ можно вычислить как инварианты из монодромия действие ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ на стебель ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ (для любого ${\displaystyle x\neq 0}$), которые не обязательно исчезают.

Чтобы получить результат замены базы, функтор ${\displaystyle f_{*}}$ (или его производный функтор) необходимо заменить на прямое изображение с компактной опорой ${\displaystyle Rf_{!}}$. Например, если ${\displaystyle f:X\to S}$ является включением открытого подмножества, такого как в приведенном выше примере, ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$ является продолжением нулем, т. е. его стебли имеют вид

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

В общем есть карта ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$, который является квазиизоморфизмом, если ж правильно, но не в целом. Упомянутая выше теорема о правильной замене базы имеет следующее обобщение: существует квазиизоморфизм^[4]

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

Замена базы для квазикогерентных пучков

Правильная смена базы

Правильные теоремы об изменении базы за квазикогерентные пучки применять в следующей ситуации: ${\displaystyle f:X\to S}$ это правильный морфизм между нётерские схемы, и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это связный пучок который плоский над S (т.е. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ является плоский над ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$). В этой ситуации верны следующие утверждения:^[5]

• «Теорема полунепрерывности»:
  • Для каждого ${\displaystyle p\geq 0}$, функция ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$ верхний полунепрерывный.
  • Функция ${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$ локально постоянна, где ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$ обозначает Эйлерова характеристика.
• "Грауэрт теорема ": если S сводится и соединяется, то для каждого ${\displaystyle p\geq 0}$ следующие эквивалентны
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$ постоянно.
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$ локально бесплатно и естественная карта

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех ${\displaystyle s\in S}$.

Кроме того, если эти условия выполнены, то естественное отображение

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех ${\displaystyle s\in S}$.

• Если для некоторых п, ${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$ для всех ${\displaystyle s\in S}$, то естественное отображение

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

является изоморфизмом для всех ${\displaystyle s\in S}$.

Поскольку стебель связки ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$ тесно связана с когомологиями слоя точки под ж, это утверждение перефразируется, говоря, что «когомологии коммутируют с расширением базы».^[6]

Эти утверждения доказываются с использованием следующего факта, где в дополнение к сделанным выше предположениям ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$: существует конечный комплекс ${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$ из конечно порожденный проективный А-модули и естественный изоморфизм функторов

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

по категории ${\displaystyle A}$-алгебры.

Смена плоского основания

Карта изменения базы

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

является изоморфизмом для квазикогерентный пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ (на ${\displaystyle X}$) при условии, что карта ${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$ является плоский (вместе с рядом технических условий: ж должен быть отделенный морфизм конечного типа, задействованные схемы должны быть нётерскими).^[7]

Изменение плоской базы в производной категории

При рассмотрении карты изменения базы возможно далеко идущее расширение плоского базового изменения.

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

в производной категории пучков на S ', аналогично указанному выше. Здесь ${\displaystyle Lg^{*}}$ является (полным) производным функтором обратного преобразования ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модули (потому что ${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}$ включает тензорное произведение, ${\displaystyle g^{*}}$ не совсем то, когда грамм не плоский и, следовательно, не равен производному функтору ${\displaystyle Lg^{*}}$Это отображение является квазиизоморфизмом при выполнении следующих условий:^[8]

• ${\displaystyle S}$ квазикомпактен и ${\displaystyle f}$ квазикомпактен и квази разделен,
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это объект в ${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$, ограниченная производная категория ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модули и его когомологические пучки квазикогерентны (например, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ может быть ограниченным комплексом квазикогерентных пучков)
• ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle S'}$ находятся Tor-независимый над ${\displaystyle S}$, что означает, что если ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle s'\in S'}$ удовлетворить ${\displaystyle f(x)=s=g(s')}$, то для всех целых чисел ${\displaystyle p\geq 1}$,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$.

• Выполняется одно из следующих условий:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно ${\displaystyle f}$, что означает, что он квазиизоморфен в ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$ в комплекс ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ такой, что ${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$ является ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$-квартира для всех ${\displaystyle i}$ вне некоторого ограниченного интервала ${\displaystyle [m,n]}$; эквивалентно, существует интервал ${\displaystyle [m,n]}$ такой, что для любого комплекса ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ в ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$, надо ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$ для всех ${\displaystyle i}$ за пределами ${\displaystyle [m,n]}$; или же
  • ${\displaystyle g}$ имеет конечную Tor-размерность, что означает, что ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$ имеет конечную плоскую амплитуду относительно ${\displaystyle g}$.

Одно из преимуществ этой формулировки состоит в том, что гипотеза плоскостности была ослаблена. Однако для конкретных вычислений когомологий левой и правой частей теперь требуется Спектральная последовательность Гротендика.

Базовое изменение в производной алгебраической геометрии

Производная алгебраическая геометрия дает возможность отказаться от предположения о плоскостности при условии, что откат ${\displaystyle X'}$ заменяется гомотопический откат. В самом простом случае, когда Икс, S, и ${\displaystyle S'}$ являются аффинными (с обозначениями, как выше), гомотопический отклик задается полученный тензорное произведение

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

Затем, предполагая, что используемые схемы (или, в более общем смысле, производные схемы) являются квазикомпактными и квазиразделенными, естественное преобразование

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

это квазиизоморфизм для любого квазикогерентного пучка или, в более общем смысле, сложный квазикогерентных пучков.^[9]Вышеупомянутый результат плоской замены базы на самом деле является частным случаем, поскольку для грамм плоский откат гомотопии (который локально задается производным тензорным произведением) согласуется с обычным откатом (локально задается не производным тензорным произведением), и поскольку откат вдоль плоских карт грамм и грамм' автоматически выводятся (т. е. ${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$). Вспомогательные предположения, связанные с Tor-независимостью или Tor-амплитудой в предыдущей теореме об изменении базы, также становятся ненужными.

В приведенной выше форме базовое изменение было расширено на Бен-Цви, Фрэнсис и Надлер (2010) к ситуации, когда Икс, S, и S ' (возможно, производные) стеки при условии, что карта ж идеальная карта (включая случай, когда ж представляет собой квазикомпактное квазиразделенное отображение схем, но также включает более общие стеки, такие как классифицирующий стек BG из алгебраическая группа в нулевой характеристике).

Варианты и приложения

Правильное изменение базы также имеет место в контексте комплексные многообразия.^[10]В теорема о формальных функциях - вариант правильного изменения базы, где откат заменяется на завершение операция.

В принцип качелей и теорема куба, которые являются основополагающими фактами в теории абелевы разновидности, являются следствием правильного изменения базы.^[11]

Замена базы также выполняется для D-модули: если Икс, S, ИКС', и S ' гладкие разновидности (но ж и грамм не обязательно должен быть плоским или правильным и т. д.), существует квазиизоморфизм

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

куда ${\displaystyle -^{\dagger }}$ и ${\displaystyle \int }$ обозначим функторы обратного и прямого изображения для D-модули.^[12]

Замена базы эталонных шкивов

За étale торсионные шкивы ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, есть два результата изменения базы, называемые правильный и плавная смена базысоответственно: замена базы выполняется, если ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ является правильный.^[13] Это также верно, если грамм является гладкий, при условии, что ж квазикомпактен и при кручении ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ первичен к характеристика из поля остатков из Икс.^[14]

С правильной заменой базы тесно связан следующий факт (две теоремы обычно доказываются одновременно): пусть Икс быть разнообразным сепарабельно замкнутое поле и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ а конструктивная связка на ${\displaystyle X_{\text{et}}}$. потом ${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$ конечны в каждом из следующих случаев:

• Икс завершено, или
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ не имеет п-кручение, где п это характеристика k.

При дополнительных предположениях Денингер (1988) распространена теорема о замене собственной базы на этальные пучки без кручения.

Приложения

По аналогии с топологической ситуацией, упомянутой выше, отображение изменения базы для открытое погружение ж,

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

обычно не является изоморфизмом.^[15] Вместо этого продление на ноль функтор ${\displaystyle f_{!}}$ удовлетворяет изоморфизму

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Этот факт и правильное изменение базы предлагают определить Функтор прямого изображения с компактной опорой для карты ж к

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

куда ${\displaystyle f=p\circ j}$ это компактификация из ж, т. е. факторизация в открытое погружение с последующим правильным отображением. Правильная теорема о замене базы нужна, чтобы показать, что это корректно определено, т. е. не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора компактификации. аналогично случаю пучков на топологическом пространстве формула замены базы для ${\displaystyle g_{*}}$ против. ${\displaystyle Rf_{!}}$ действительно для несобственных карт ж.

Для структурной карты ${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$ схемы над полем k, отдельные когомологии ${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$, обозначаемый ${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$ упоминается как когомологии с компактным носителем. Это важный вариант обычного этальные когомологии.

Подобные идеи используются и для построения аналога функтора ${\displaystyle Rf_{!}}$ в А¹-гомотопическая теория.^[16][17]

Смотрите также

• Относительная точка зрения Гротендика в алгебраической геометрии
• Смена базы (значения)
• Подъем смена базы автоморфных форм

дальнейшее чтение

• Esnault, H .; Kerz, M .; Виттенберг, О. (2016), Изоморфизм ограничения для циклов относительной размерности нуль, arXiv:1503.08187v2

Примечания

1. Роли ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle S'}$ симметричны, и в некоторых контекстах (особенно при плавном изменении базы) более знакомой является другая формулировка (вместо этого используется карта ${\displaystyle f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}}$ за ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ связка на ${\displaystyle S'}$). Для единообразия все результаты в этой статье приведены для одно и тоже ситуация, а именно карта ${\displaystyle g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$; но читатели должны обязательно сравнить это со своими ожиданиями.
2. Милн (2012, Теорема 17.3)
3. Лурье (2009, Теорема 7.3.1.16)
4. Иверсен (1986), четыре пробела считаются локально компактный и конечной размерности.
5. Гротендик (1963 г., Раздел 7.7), Хартсхорн (1977, Теорема III.12.11), Вакиль (2015), Глава 28 Когомологии и теоремы о замене базы)
6. Хартсхорн (1977, п. 255)
7. Хартсхорн (1977, Предложение III.9.3)
8. Бертело, Гротендик и Иллюзи (1971), SGA 6 IV, предложение 3.1.0)
9. Тоен (2012, Предложение 1.4)
10. Грауэрт (1960)
11. Мамфорд (2008)
12. Хотта, Такеучи и Танисаки (2008), Теорема 1.7.3)
13. Артин, Гротендик и Вердье (1972), Exposé XII), Милн (1980, раздел VI.2)
14. Артин, Гротендик и Вердье (1972), Exposé XVI)
15. Милн (2012, Пример 8.5)
16. Аюб, Джозеф (2007), Шесть операций Гротендика и формализм évanescents dans le monde motivique. Я., Société Mathématique de France, ISBN  978-2-85629-244-0, Zbl  1146.14001
17. Цисинский, Дени-Шарль; Деглиз, Фредерик (2012), Триангулированные категории смешанных мотивов, arXiv:0912.2110, Bibcode:2009arXiv0912.2110C

Рекомендации

• Артин, Майкл; Гротендик, Александр; Вердье, Жан-Луи (1972), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF), Конспект лекций по математике (на французском языке), 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. vi + 640, Дои:10.1007 / BFb0070714, ISBN  978-3-540-06118-2
• Бен-Цви, Давид; Фрэнсис, Джон; Надлер, Дэвид (2010), «Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии», J. Amer. Математика. Soc., 23 (4): 909–966, arXiv:0805.0157, Дои:10.1090 / S0894-0347-10-00669-7, МИСТЕР  2669705
• Бертело, Пьер; Гротендик, Александр; Иллюзи, Люк (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Теория пересечений и теория Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, xii + 700, Дои:10.1007 / BFb0066283, ISBN  978-3-540-05647-8
• Денингер, Кристофер (1988), "Правильная теорема о замене базы для пучков без кручения в этальных когомологиях", Журнал чистой и прикладной алгебры, 50 (3): 231–235, Дои:10.1016/0022-4049(88)90102-8
• Габбер "«Теоремы конечности для этальных когомологий превосходных схем "
• Грауэрт, Ганс (1960), "Теорема Эйна об аналитической Гарбентеории и модульной комплексной структуре" (PDF), Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 5, Zbl  0100.08001
• Гротендик, А. (1963), "Éléments de géométrie algébrique. III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents. II", Publ. Математика. IHES, заархивировано из оригинал на 2017-01-05, получено 2017-01-04
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157, OCLC  13348052
• Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки (2008), D-Модули, извращенные пучки и теория представлений, Биркхойзер
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN  978-3-540-16389-3, МИСТЕР  0842190
• Лурье, Джейкоб (2009), Теория высших топосов, Анналы математических исследований, 170, Princeton University Press, arXiv:math.CT / 0608040, Дои:10.1515/9781400830558, ISBN  978-0-691-14049-0, МИСТЕР  2522659
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2012), Лекции по этальным когомологиям (PDF)
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы разновидности, Институт фундаментальных исследований в области математики им. Тата, 5, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-81-85931-86-9, МИСТЕР  0282985, OCLC  138290
• Тоен, Бертран (2012), Собственные локальные морфизмы полного пересечения сохраняют совершенные комплексы, arXiv:1210.2827, Bibcode:2012arXiv1210.2827T
• Schnürer, O.M .; Soergel, W. (2016), "Правильная замена базы для отдельных локально правильных карт", Ренд. Семин. Мат. Univ. Падуя, 135: 223–250, arXiv:1404.7630v2, Дои:10.4171 / RSMUP / 135-13
• Вакил, Рави (2015), Основы алгебраической геометрии (PDF)

внешняя ссылка

• Рекламный проспект Брайана Конрада
• Проблема с полунепрерывностью