Локальная система - Local system

В математика, местные коэффициенты это идея от алгебраическая топология, своего рода промежуточный этап между теория гомологии или же теория когомологий с коэффициентами в обычном смысле, в фиксированном абелева группа А, и вообще когомологии пучков что, грубо говоря, позволяет коэффициентам изменяться от точки к точке в топологическое пространство Икс. Такое понятие было введено Норман Стинрод в 1943 г.^[1]

Определение

Позволять Икс быть топологическое пространство. А локальная система (абелевых групп / модулей / ...) на Икс это локально постоянный пучок (из абелевы группы /модули...) на Икс. Другими словами, связка ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ является локальной системой, если каждая точка имеет открытую окрестность ${\displaystyle U}$ такой, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{U}}$ это постоянная связка.

Эквивалентные определения

Связанные пути пространства

Если Икс является соединенный путём, локальная система ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ абелевых групп имеет один и тот же слой L в каждой точке. Дать такую ​​локальную систему - все равно что дать гомоморфизм

${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)}$

и аналогично для локальных систем модулей, ... Карта ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)}$ давая локальной системе ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ называется представление монодромии из ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Доказательство эквивалентности

Возьмите локальную систему ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ и петля ${\displaystyle \gamma }$ в Икс. Легко показать, что любая локальная система на ${\displaystyle [0,1]}$ постоянно. Например, ${\displaystyle \gamma ^{*}{\mathcal {L}}}$ постоянно. Это дает изоморфизм ${\displaystyle (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{0}\simeq \Gamma ([0,1],{\mathcal {L}})\simeq (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{1}}$, т.е. между L и сам. Наоборот, при гомоморфизме ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)}$рассмотрим постоянный пучок ${\displaystyle {\underline {L}}}$ на универсальной обложке ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ из Икс. Разделы, инвариантные к преобразованию колоды ${\displaystyle {\underline {L}}}$ дает локальную систему на Икс. Точно так же колода-преобразование-ρ-эквивариантные секции дают другую локальную систему на Икс: для достаточно маленького открытого набора U, он определяется как

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )_{U}\ =\ \left\{{\text{sections }}s\in {\underline {L}}_{\pi ^{-1}(U)}{\text{ with }}\theta \circ s=\rho (\theta )s{\text{ for all }}\theta \in {\text{ Deck}}({\widetilde {X}}/X)=\pi _{1}(X,x)\right\}}$

куда ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ универсальное покрытие.

Это показывает, что (для Икс линейно связно) локальная система - это в точности пучок, откат которого к универсальному покрытию Икс постоянный пучок.

Более сильное определение на несвязных пространствах

Другое (более сильное, неэквивалентное) определение, обобщающее 2 и работающее для несвязных Икс, это ковариантный функтор

${\displaystyle {\mathcal {L}}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}}(R)}$

из фундаментального группоида ${\displaystyle X}$ в категорию модулей над коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$. Обычно ${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$. Это говорит о том, что в каждой точке ${\displaystyle x\in X}$ мы должны назначить модуль ${\displaystyle M}$ с представлениями ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)}$ такие, что эти представления совместимы с изменением базовой точки ${\displaystyle x\to y}$ для фундаментальная группа.

Примеры

• Постоянные связки. Например, ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$. Это полезный инструмент для вычисления когомологий, поскольку когомологии пучков

${\displaystyle H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )}$

изоморфна сингулярным когомологиям ${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$. С ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z} }$, Существуют ${\displaystyle S^{1}}$-многие линейные системы на Икс, то ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ один, заданный представлением монодромии

${\displaystyle \pi _{x}(X)=\mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )}$ отправив ${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }}$

• Горизонтальные сечения векторных расслоений с плоской связью. Если ${\displaystyle E\to X}$ - векторное расслоение с плоской связностью ${\displaystyle \nabla }$, тогда

${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}}$

это локальная система.

Например, возьмите ${\displaystyle X=\mathbb {C} \setminus 0}$ и ${\displaystyle E=X\times \mathbb {C} ^{n}}$ тривиальный пучок. Разделы E находятся п-наборы функций на Икс, так ${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})}$ определяет плоское соединение на E, так же как и ${\displaystyle \nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$ для любой матрицы однократных форм ${\displaystyle \Theta }$ на Икс. Затем горизонтальные секции

${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}}$

т.е. решения линейного дифференциального уравнения ${\displaystyle df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}}$.

Если ${\displaystyle \Theta }$ распространяется на одну форму на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ выше также будет определена локальная система на ${\displaystyle \mathbb {C} }$, поэтому будет тривиально, так как ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} )=0}$. Итак, чтобы дать интересный пример, выберите один с шестом на 0:

${\displaystyle \Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}$

в этом случае для ${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$,

${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}}$

• An ппокрытая листом карта покрытия ${\displaystyle X\to Y}$ локальная система с секциями локально множество ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$. Точно так же пучок волокон с дискретным волокном является локальной системой, потому что каждый путь поднимается уникальным образом до заданного подъема своей базовой точки. (Определение регулируется, чтобы включать многозначные локальные системы очевидным образом).
• Локальная система k-векторные пространства на Икс это то же самое, что и k-линейный представление группы ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$.
• Если Икс это разновидность, локальные системы - это то же самое, что D-модули, которые, кроме того, когерентны как О-модули.

Если соединение не является плоским, параллельная транспортировка волокна по стягиваемой петле на Икс может дать нетривиальный автоморфизм слоя в базовой точке Икс, поэтому нет возможности определить таким образом локально постоянный пучок.

В Связь Гаусса – Манина очень интересный пример соединения, горизонтальные участки которого встречаются при изучении вариация структур Ходжа.

Обобщение

Локальные системы имеют небольшое обобщение на конструктивные пучки. Конструктивный пучок на локально линейно связном топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ это связка ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ такое, что существует расслоение

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}}$ это локальная система. Обычно их находят, беря когомологии полученного прямого ответа для некоторого непрерывного отображения ${\displaystyle f:X\to Y}$. Например, если мы посмотрим на сложные точки морфизма

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(stf(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])}$

затем волокна над

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

гладкая плоская кривая, заданная формулой ${\displaystyle f}$, но волокна закончились ${\displaystyle \mathbb {V} }$ находятся ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. Если взять производный толчок ${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$ тогда мы получаем конструктивную связку. Над ${\displaystyle \mathbb {V} }$ у нас есть локальные системы

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

пока закончился ${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$ у нас есть локальные системы

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle g}$ - род плоской кривой (т.е. ${\displaystyle g=({\text{deg}}(f)-1)({\text{deg}}(f)-2)/2}$).

Приложения

Когомологии с локальными коэффициентами в модуле, соответствующем ориентационное покрытие можно использовать для формулирования Двойственность Пуанкаре для неориентируемых многообразий: см. Искривленная двойственность Пуанкаре.

Смотрите также

• Спектральная последовательность Лере
• Связь Гаусса – Манина
• D-модуль
• Гомология пересечения
• Извращенная связка

Рекомендации

1. Стинрод, Норман Э. (1943). «Гомологии с локальными коэффициентами». Анналы математики. 44 (4): 610–627. Дои:10.2307/1969099. МИСТЕР  0009114.

внешняя ссылка

• "Что такое локальная система на самом деле". Обмен стеком.
• Шнелл, Кристиан. «Вычислительные когомологии локальных систем» (PDF). Обсуждает вычисление когомологий с коэффициентами в локальной системе с помощью скрученного комплекса де Рама.
• Уильямсон, Джорди. «Иллюстрированное руководство по извращенным снопам» (PDF).
• Макферсон, Роберт (15 декабря 1990 г.). «Гомология пересечений и извращенные пучки» (PDF).
• Эль-Зейн, Фуад; Снусси, Джавад. «Локальные системы и конструктивные связки» (PDF).