Спектральная последовательность Гротендика - Grothendieck spectral sequence

В математика, в области гомологическая алгебра, то Спектральная последовательность Гротендика, представлен Александр Гротендик в его Тохоку бумага, это спектральная последовательность который вычисляет производные функторы композиции из двух функторы ${\displaystyle G\circ F}$, исходя из знания производных функторов F и грамм.

Если ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ и ${\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ два аддитивных и осталось точно функторы между абелевы категории так что оба ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ имеют достаточно инъекций и ${\displaystyle F}$ берет инъективные объекты к ${\displaystyle G}$-циклические объекты, затем для каждого объекта ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ есть спектральная последовательность:

${\displaystyle E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),}$

куда ${\displaystyle {\rm {R}}^{p}G}$ обозначает п-й правый производный функтор ${\displaystyle G}$, так далее.

Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются примерами спектральной последовательности Гротендика, например Спектральная последовательность Лере.

В точная последовательность низких степеней читает

${\displaystyle 0\to {\rm {R}}^{1}G(FA)\to {\rm {R}}^{1}(GF)(A)\to G({\rm {R}}^{1}F(A))\to {\rm {R}}^{2}G(FA)\to {\rm {R}}^{2}(GF)(A).}$

Примеры

Спектральная последовательность Лере

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ находятся топологические пространства, позволять

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)}$ быть категория пучков абелевых групп на Икс и Yсоответственно и

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Ab} }$ - категория абелевых групп.

Для непрерывная карта

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

есть (точно слева) прямое изображение функтор

${\displaystyle f_{*}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)}$.

У нас также есть глобальный раздел функторы

${\displaystyle \Gamma _{X}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} }$,

и

${\displaystyle \Gamma _{Y}\colon \mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .}$

Тогда, поскольку

${\displaystyle \Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}}$

и функторы ${\displaystyle f_{*}}$ и${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ удовлетворяют предположениям (поскольку функтор прямого изображения имеет точный левый сопряженный ${\displaystyle f^{-1}}$, продвижение инъекций является инъективным и, в частности, ациклический для функтора глобального сечения) последовательность в этом случае становится:

${\displaystyle H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})}$

для пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ абелевых групп на ${\displaystyle X}$, и это как раз то Спектральная последовательность Лере.

Спектральная последовательность от локального к глобальному Ext

Существует спектральная последовательность, относящаяся к глобальному Ext и связка Ext: пусть F, грамм быть связки модулей через окольцованное пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$; например, схема. потом

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).}$^[1]

Это пример спектральной последовательности Гротендика: действительно,

${\displaystyle R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)}$, ${\displaystyle R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)}$ и ${\displaystyle R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)}$.

Более того, ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)}$ отправляет инъективный ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модули для опрессовки шкивов,^[2] которые ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$-ациклический. Следовательно, гипотеза выполняется.

Вывод

Мы будем использовать следующую лемму:

Лемма — Если K является инъективным комплексом в абелевой категории C такие, что ядра дифференциалов являются инъективными объектами, то для каждого п,

${\displaystyle H^{n}(K^{\bullet })}$

является инъективным объектом и для любого точного слева аддитивного функтора грамм на C,

${\displaystyle H^{n}(G(K^{\bullet }))=G(H^{n}(K^{\bullet })).}$

Доказательство: Пусть ${\displaystyle Z^{n},B^{n+1}}$ быть ядром и образом ${\displaystyle d:K^{n}\to K^{n+1}}$. У нас есть

${\displaystyle 0\to Z^{n}\to K^{n}{\overset {d}{\to }}B^{n+1}\to 0,}$

который раскалывается. Это означает, что каждый ${\displaystyle B^{n+1}}$ инъективно. Далее мы смотрим на

${\displaystyle 0\to B^{n}\to Z^{n}\to H^{n}(K^{\bullet })\to 0.}$

Он расщепляется, что влечет за собой первую часть леммы, а также точность

${\displaystyle 0\to G(B^{n})\to G(Z^{n})\to G(H^{n}(K^{\bullet }))\to 0.}$

Точно так же мы имеем (используя предыдущее разбиение):

${\displaystyle 0\to G(Z^{n})\to G(K^{n}){\overset {G(d)}{\to }}G(B^{n+1})\to 0.}$

Теперь следует вторая часть. ${\displaystyle \square }$

Теперь построим спектральную последовательность. Позволять ${\displaystyle A^{0}\to A^{1}\to \cdots }$ быть F-ациклическое разрешение А. Письмо ${\displaystyle \phi ^{p}}$ за ${\displaystyle F(A^{p})\to F(A^{p+1})}$, у нас есть:

${\displaystyle 0\to \operatorname {ker} \phi ^{p}\to F(A^{p}){\overset {\phi ^{p}}{\to }}\operatorname {im} \phi ^{p}\to 0.}$

Возьмите инъективные разрешения ${\displaystyle J^{0}\to J^{1}\to \cdots }$ и ${\displaystyle K^{0}\to K^{1}\to \cdots }$ первого и третьего ненулевых членов. Посредством лемма о подкове, их прямая сумма ${\displaystyle I^{p,\bullet }=J\oplus K}$ является инъективным разрешением ${\displaystyle F(A^{p})}$. Таким образом, мы нашли инъективное разрешение комплекса:

${\displaystyle 0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to \cdots .}$

так что каждая строка ${\displaystyle I^{0,q}\to I^{1,q}\to \cdots }$ удовлетворяет условию леммы (ср. Резолюция Картана – Эйленберга.)

Теперь двойной комплекс ${\displaystyle E_{0}^{p,q}=G(I^{p,q})}$ дает две спектральные последовательности, горизонтальную и вертикальную, которые мы сейчас исследуем. С одной стороны, по определению

${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))}$,

который всегда равен нулю, если только q = 0, поскольку ${\displaystyle F(A^{p})}$ является грамм-ацикличен по гипотезе. Следовательно, ${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)}$ и ${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}={}^{\prime \prime }E_{\infty }}$. С другой стороны, по определению и лемме

${\displaystyle {}^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p})).}$

С ${\displaystyle H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots }$ является инъективным разрешением ${\displaystyle H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)}$ (это резольвента, поскольку ее когомологии тривиальны),

${\displaystyle {}^{\prime }E_{2}^{p,q}=R^{p}G(R^{q}F(A)).}$

С ${\displaystyle {}^{\prime }E_{r}}$ и ${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{r}}$ имеют тот же предельный член, доказательство закончено. ${\displaystyle \square }$

Примечания

1. Годеман 1973, Гл. II, теорема 7.3.3.
2. Годеман 1973, Гл. II, лемма 7.3.2.

Рекомендации

• Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Париж: Герман, МИСТЕР  0345092
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.

Вычислительные примеры

• Шарп, Эрик (2003). Лекции о D-бранах и пучках (страницы 18–19), arXiv:hep-th / 0307245

В статье использован материал из спектральной последовательности Гротендика на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.