Лемма о подкове - Horseshoe lemma

В гомологическая алгебра, то лемма о подкове, также называемый теорема одновременного разрешения, это заявление, касающееся резолюции двух объектов ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle A''}$ к резолюциям расширений ${\displaystyle A'}$ к ${\displaystyle A''}$. Он говорит, что если объект ${\displaystyle A}$ является продолжением ${\displaystyle A'}$ к ${\displaystyle A''}$, то разрешение ${\displaystyle A}$ можно построить индуктивно с пй пункт в разрешении, равном сопродукт из пth пунктов в постановлениях ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle A''}$. Название леммы происходит от формы диаграммы, иллюстрирующей предположение леммы.

Официальное заявление

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ быть абелева категория с достаточно прогнозов. Если

это диаграмма в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ такой, что столбец точный а строки - проективные резольвенты ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle A''}$ соответственно, то его можно дополнить до коммутативной диаграммы

где все столбцы точны, средняя строка является проективным разрешением ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle P_{n}=P'_{n}\oplus P''_{n}}$ для всех п. Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ анабелева категория с достаточно инъекций, то двойной утверждение также верно.

Лемму можно доказать индуктивно. На каждом этапе индукции свойства проективных объектов используются для определения отображений в проективном разрешении ${\displaystyle A}$. Тогда лемма о змеях вызывается, чтобы показать, что построенное на данный момент одновременное разрешение имеет точные строки.

Смотрите также

• Девять лемм

Рекомендации

• Анри Картан и Сэмюэл Эйленберг Гомологическая алгебра, Princeton University Press, 1956.
• М. Скотт Осборн, Базовая гомологическая алгебра, Springer-Verlag, 2000.

В статье использован материал из леммы о подкове PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.