Резолюция Картана – Эйленберга - Cartan–Eilenberg resolution

В гомологическая алгебра, то Резолюция Картана – Эйленберга в некотором смысле разрешающая способность из цепной комплекс. Его можно использовать для построения гипер-производные функторы. Назван в честь Анри Картан и Сэмюэл Эйленберг.

Определение

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ быть Абелева категория с достаточно прогнозов, и разреши ${\displaystyle A_{*}}$ быть цепным комплексом с объектами в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Затем Резолюция Картана – Эйленберга из ${\displaystyle A_{*}}$ верхняя полуплоскость двойной комплекс ${\displaystyle P_{**}}$ (т.е. ${\displaystyle P_{pq}=0}$ за ${\displaystyle q<0}$) состоящий из проективных объектов ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и цепная карта ${\displaystyle \varepsilon \colon P_{p0}\to A_{p}}$ такой, что

• А_п = 0 означает, что п-й столбец равен нулю (п_pq = 0 для всех q).
• Для каждого п, колонка п_п* является проективным разрешением А_п.
• Для любого фиксированного столбца
  • ядра каждой из горизонтальных карт начало в этом столбце (которые сами по себе образуют комплекс) на самом деле точны,
  • то же самое верно и для изображений этих карт, и
  • то же самое верно и для гомологии этих отображений.

(Фактически, этого было бы достаточно для ядер и гомологий - случай изображений следует из них.) В частности, поскольку ядра, коядра и гомологии будут проективными, они дадут проективную резольвенту ядер , коядра и гомологии исходного комплекса А_•

Есть аналогичное определение с использованием инъективных резольвент и коцепных комплексов.

Существование резольвент Картана – Эйленберга можно доказать с помощью лемма о подкове.

Гиперпроизводные функторы

Имея право точный функтор ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$, можно определить левые гиперпроизводные функторы F на цепном комплексе А_∗ путем построения резольвенты Картана – Эйленберга ε: п_∗∗ → А_∗, применяя F к п_∗∗, и принимая гомологии полученного полного комплекса.

Точно так же можно определить правые гипер-производные функторы для левых точных функторов.

Смотрите также

• Гипергомология

Рекомендации

• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру, Кембриджские исследования по высшей математике, 38, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55987-4, МИСТЕР  1269324