Двойственность Вердье

В математика, Двойственность Вердье это двойственность в теория связок это обобщает Двойственность Пуанкаре за коллекторы. Двойственность Вердье была введена Жан-Луи Вердье (1967, 1995 ) как аналог для локально компактных пространств когерентная двойственность для схем из-за Александр Гротендик. Это часто встречается при изучении конструктивных или конструктивных элементов. извращенные снопы.

Двойственность Вердье утверждает, что функторы изображений для пучков на самом деле присоединенные функторы. Есть две версии.

Глобальная двойственность Вердье утверждает, что для непрерывной карты ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ , производный функтор прямого образа с соответствующими носителями ${ displaystyle Rf_ {!}}$ имеет право сопряженный ${ displaystyle f ^ {!}}$ в производной категории пучков, другими словами, для пучка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на ${ displaystyle X}$ и ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ на ${ displaystyle Y}$ у нас есть

{ displaystyle RHom (Rf _ {!} { mathcal {F}}, { mathcal {G}}) cong RHom ({ mathcal {F}}, f ^ {!} { mathcal {G}}) .}

Восклицательный знак часто произносится как «визг» (жаргонное название восклицательного знака), а карты называются « ${ displaystyle f}$ визг "или" ${ displaystyle f}$ тише вопль "и"ж верхний вопль "- см. также крик карта.

Местная двойственность Вердье утверждает, что

{ displaystyle R , { mathcal {H}} om (Rf _ {!} { mathcal {F}}, { mathcal {G}}) cong Rf _ { ast} R , { mathcal {H }} ом ({ mathcal {F}}, f ^ {!} { mathcal {G}})}

в производная категория связок k модули над Y. Важно отметить, что различие между глобальной и локальной версиями заключается в том, что первая связывает карты между пучками, тогда как вторая связывает (комплексы) пучков напрямую и поэтому может быть оценена локально. Взятие глобальных секций обеих сторон в локальное утверждение дает глобальную двойственность Вердье.

В дуализирующий комплекс ${ displaystyle D_ {X}}$ на ${ displaystyle X}$ определяется как

{ displaystyle omega _ {X} = p ^ {!} (k),}

куда п это карта из ${ displaystyle X}$ в точку. Отчасти двойственность Вердье интересна в единичном контексте тем, что когда ${ displaystyle X}$ не является многообразием (например, графом или сингулярным алгебраическим многообразием), то дуализирующий комплекс не является квазиизоморфным пучку, сосредоточенному в одной степени. С этой точки зрения производная категория необходима при изучении особых пространств.

Если ${ displaystyle X}$ - конечномерное локально компактное пространство, а ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ ограниченный производная категория пучков абелевых групп над ${ displaystyle X}$ , то Вердье двойной это контравариантный функтор

{ Displaystyle D двоеточие D ^ {b} (X) к D ^ {b} (X)}

определяется

{ displaystyle D ({ mathcal {F}}) = R , { mathcal {H}} om ({ mathcal {F}}, omega _ {X}).}

Обладает следующими свойствами:

${ Displaystyle D ^ {2} ({ mathcal {F}}) cong { mathcal {F}}}$ для пучков с конструктивными когомологиями.
(Сплетение функторов ${ displaystyle f _ {*}}$ и ${ displaystyle f_ {!}}$ ). Если ${ displaystyle f}$ это непрерывное отображение из ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ , то существует изоморфизм
${ Displaystyle D (Rf _ {!} ({ mathcal {F}})) cong Rf _ { ast} D ({ mathcal {F}})}$ .

Двойственность Пуанкаре

Двойственность Пуанкаре может быть получен как частный случай двойственности Вердье. Здесь явно вычисляются когомологии пространства, используя механизм когомологии пучков.

Предполагать Икс компактный ориентируемый п-мерное многообразие, k это поле и ${ displaystyle k_ {X}}$ постоянный пучок на Икс с коэффициентами в k. Позволять ${ displaystyle f = p}$ - постоянное отображение. Затем глобальная двойственность Вердье утверждает

{ displaystyle [Rp _ {!} k_ {X}, k] cong [k_ {X}, p ^ {!} k].}

Чтобы понять, как двойственность Пуанкаре получается из этого утверждения, возможно, проще всего понять обе стороны по частям. Позволять

{ displaystyle k_ {X} to (I_ {X} ^ { bullet} = I_ {X} ^ {0} to I_ {X} ^ {1} to cdots)}

- инъективная резольвента постоянного пучка. Тогда стандартными фактами о правых производных функторах

{ Displaystyle Rp _ {!} k_ {X} = p _ {!} I_ {X} ^ { bullet} = Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ { bullet})}

- комплекс, когомологиями которого являются когомологии с компактным носителем Икс. Поскольку морфизмы между комплексами пучков (или векторных пространств) сами образуют комплекс, мы находим, что

{ displaystyle mathrm {Hom} ^ { bullet} ( Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ { bullet}), k) = cdots to Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {2}) ^ { vee} to Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {1}) ^ { vee} to Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {0}) ^ { vee} to 0}

где последний ненулевой член находится в степени 0, а единицы слева - в отрицательной степени. Морфизмы в производной категории получаются из гомотопическая категория цепных комплексов пучков, взяв нулевые когомологии комплекса, т. е.

{ displaystyle [Rp _ {!} k_ {X}, k] cong H ^ {0} ( mathrm {Hom} ^ { bullet} ( Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ { bullet}), k)) = H_ {c} ^ {0} (X; k_ {X}) ^ { vee}.}

Что касается другой стороны утверждения двойственности Вердье выше, мы должны принять как должное тот факт, что когда Икс компактный ориентируемый п-мерное многообразие

{ displaystyle p ^ {!} к = k_ {X} [n],}

который является дуализирующим комплексом для многообразия. Теперь мы можем переформулировать правую часть как

{ Displaystyle [k_ {X}, k_ {X} [n]] cong H ^ {n} ( mathrm {Hom} ^ { bullet} (k_ {X}, k_ {X})) = H ^ {n} (X; k_ {X}).}

В итоге мы получили утверждение, что

{ displaystyle H_ {c} ^ {0} (X; k_ {X}) ^ { vee} cong H ^ {n} (X; k_ {X}).}

Повторяя этот аргумент со связкой k_Икс заменен такой же связкой в градусах я мы получаем классическую двойственность Пуанкаре

{ displaystyle H_ {c} ^ {i} (X; k_ {X}) ^ { vee} cong H ^ {n-i} (X; k_ {X}).}

Двойственность Вердье - Verdier duality

Содержание

Двойственность Вердье

Двойственность Пуанкаре

Смотрите также

Рекомендации