Связка модулей - Sheaf of modules

В математике пучок О-модули или просто О-модуль через окольцованное пространство (Икс, О) это пучок F так что для любого открытого подмножества U из Икс, F(U) является О(U) -модуль и отображения ограничений F(U) → F(V) совместимы с ограничительными отображениями О(U) → О(V): ограничение фс это ограничение ж раз, что из s для любого ж в О(U) и s в F(U).

Стандартный случай - когда Икс это схема и О его структура связка. Если О это постоянная связка ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$, затем пачка О-модули - это то же самое, что пучок абелевых групп (т. е. абелева связка).

Если Икс это простой спектр кольца р, то любой р-модуль определяет О_Икс-модуль (называемый связанный пучок) естественным образом. Аналогично, если р это градуированное кольцо и Икс это Проект из р, то любой оцениваемый модуль определяет О_Икс-модуль естественным образом. О-модули, возникающие таким образом, являются примерами квазикогерентные пучки, и фактически на аффинных или проективных схемах все квазикогерентные пучки получаются таким образом.

Пучки модулей над окольцованным пространством образуют абелева категория.^[1] Кроме того, в этой категории достаточно инъекций,^[2] и, следовательно, можно определить и определяет когомологии пучков ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$ как я-й правый производный функтор из функтор глобального раздела ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$.^[3]

Примеры

• Учитывая окольцованное пространство (Икс, О), если F является О-подмодуль О, то он называется пучком идеалов или идеальный пучок из О, поскольку для каждого открытого подмножества U из Икс, F(U) является идеальный кольца О(U).
• Позволять Икс быть гладкий сорт измерения п. Затем касательная связка из Икс является двойником котангенциальный пучок ${\displaystyle \Omega _{X}}$ и каноническая связка ${\displaystyle \omega _{X}}$ это п-я внешняя мощность (детерминант ) из ${\displaystyle \Omega _{X}}$.
• А пучок алгебр - пучок модуля, который также является пучком колец.

Операции

Позволять (Икс, О) - окольцованное пространство. Если F и грамм находятся О-модули, то их тензорное произведение, обозначаемое

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$ или же ${\displaystyle F\otimes G}$,

это О-модуль, который является связкой, связанной с предпучком ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$ (Чтобы увидеть, что связки нельзя избежать, вычислите глобальные разделы ${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$ куда О(1) есть Скручивающаяся связка Серра на проективном пространстве.)

Аналогично, если F и грамм находятся О-модули, затем

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

обозначает О-модуль, являющийся пучком ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$.^[4] В частности, О-модуль

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

называется двойной модуль из F и обозначается ${\displaystyle {\check {F}}}$. Примечание: для любого О-модули E, F, существует канонический гомоморфизм

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

который является изоморфизмом, если E это локально свободная связка конечного ранга. В частности, если L локально не имеет ранга один (такой L называется обратимая связка или линейный пакет ),^[5] тогда это гласит:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

из которых следует, что классы изоморфизма обратимых пучков образуют группу. Эта группа называется Группа Пикард из Икс и канонически отождествляется с первой группой когомологий ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$ (стандартным аргументом с Когомологии Чеха ).

Если E является локально свободным пучком конечного ранга, то существует О-линейная карта ${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$ дано парой; это называется карта трассировки из E.

Для любого О-модуль F, то тензорная алгебра, внешняя алгебра и симметрическая алгебра из F определяются таким же образом. Например, k-я внешняя мощность

${\displaystyle \wedge ^{k}F}$

связка связанная с предпучком ${\displaystyle U\mapsto \wedge _{O(U)}^{k}F(U)}$. Если F локально свободен от ранга п, тогда ${\displaystyle \wedge ^{n}F}$ называется детерминантный линейный пучок (хотя технически обратимая связка ) из F, обозначаемый det (F). Возникает естественное идеальное сочетание:

${\displaystyle \wedge ^{r}F\otimes \wedge ^{n-r}F\to \operatorname {det} (F).}$

Позволять ж: (Икс, О) →(Икс', О') - морфизм окольцованных пространств. Если F является О-модуль, затем связка прямого изображения ${\displaystyle f_{*}F}$ является О'-модуль по естественной карте О' →ж_*О (такое естественное отображение является частью данных морфизма окольцованных пространств.)

Если грамм является О'-модуль, то прообраз модуля ${\displaystyle f^{*}G}$ из грамм это О-модуль задан как тензорное произведение модулей:

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

куда ${\displaystyle f^{-1}G}$ это связка обратного изображения из грамм и ${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$ получается из ${\displaystyle O'\to f_{*}O}$ к постановление.

Между ${\displaystyle f_{*}}$ и ${\displaystyle f^{*}}$: для любого О-модуль F и О '-модуль грамм,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

как абелева группа. Также есть формула проекции: для О-модуль F и локально бесплатный О '-модуль E конечного ранга,

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

Характеристики

Позволять (Икс, О) - окольцованное пространство. An О-модуль F как говорят генерируется глобальными разделами если есть сюрприз О-модули:

${\displaystyle \oplus _{i\in I}O\to F\to 0}$.

Явно это означает, что есть глобальные разделы s_я из F такие, что изображения s_я в каждом стебле F_Икс генерирует F_Икс в качестве О_Икс-модуль.

Примером такого пучка является связка, связанная с алгебраическая геометрия для р-модуль M, р быть любым коммутативное кольцо, на спектр кольца Спецификация(рДругой пример: согласно Теорема Картана A, любой связный пучок на Многообразие Штейна охватывает глобальные разделы. (см. теорему Серра А ниже.) В теории схемы, родственное понятие обильная линейка. (Например, если L представляет собой обширный линейный пучок, некоторая его мощность создается глобальными секциями.)

Инъекционный О-модуль фляга (т.е. все ограничения отображаются F(U) → F(V) сюръективны.)^[6] Поскольку плоский пучок ацикличен в категории абелевых пучков, отсюда следует, что я-й правый производный функтор от функтора глобального сечения ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$ в категории О-модулей совпадает с обычными яКогомологии -го пучка в категории абелевых пучков.^[7]

Связка связанная с модулем

Позволять M быть модулем над кольцом А. Положить Икс = Спецификация А и писать ${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$. Для каждой пары ${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$, по универсальному свойству локализации существует естественная карта

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

имея свойство, которое ${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$. потом

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

- контравариантный функтор из категории, объектами которой являются множества D(ж) и морфизирует включения множеств в категория абелевых групп. Можно показать^[8] это на самом деле B-связка (т. е. удовлетворяет аксиоме склейки) и тем самым определяет пучок ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ на Икс называется связкой, связанной с M.

Самый простой пример - структурный пучок на Икс; т.е. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$. Более того, ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ имеет структуру ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$-модуль и, таким образом, точный функтор ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$ из мода_А, то категория модулей над А в категорию модулей над ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. Он определяет эквивалентность Mod_А в категорию квазикогерентные пучки на Икс, с обратным ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$, то функтор глобального раздела. Когда Икс является Нётерян, функтор является эквивалентностью из категории конечно порожденных А-модули в категорию когерентных пучков на Икс.

Конструкция обладает следующими свойствами: для любых А-модули M, N,

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$.^[9]
• Для любого первоклассного идеала п из А, ${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$ в качестве О_п = А_п-модуль.
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$.^[10]
• Если M является конечно представленный, ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$.^[10]
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, поскольку эквивалентность Mod_А и категория квазикогерентных пучков на Икс.
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$;^[11] в частности, взяв прямую сумму и ~ коммутируют.

Связка, связанная с градуированным модулем

Есть градуированный аналог конструкции и эквивалентности из предыдущего раздела. Позволять р - градуированное кольцо, порожденное элементами степени один при р₀-алгебра (р₀ означает кусок нулевой степени) и M оцененный р-модуль. Позволять Икс быть Проект из р (так Икс это проективная схема если р является нётерским). Тогда есть О-модуль ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ такое, что для любого однородного элемента ж положительной степени р, существует естественный изоморфизм

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

как пучки модулей на аффинной схеме ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$;^[12] на самом деле это определяет ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ приклеиванием.

Пример: Позволять р(1) быть оцененным р-модуль предоставлен р(1)_п = р_п+1. потом ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$ называется Скручивающаяся связка Серра, который является двойником пучок тавтологических линий если р конечно порожден в степени один.

Если F является О-модуль на Икс, затем, написав ${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$, существует канонический гомоморфизм:

${\displaystyle (\oplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n)))^{\sim }\to F}$,

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда F квазикогерентен.

Вычисление когомологий пучков

Основная статья: когомологии пучков

Когомологии пучков известны тем, что их трудно вычислить. По этой причине следующий общий факт является фундаментальным для любых практических вычислений:

Теорема — Позволять Икс быть топологическим пространством, F на нем абелев сноп и ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ открытая крышка Икс такой, что ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0}$ для любого я, п и ${\displaystyle U_{i_{j}}}$в ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$. Тогда для любого я,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}$

где правая часть - это я-й Когомологии Чеха.

Теорема Серра A заявляет, что если Икс является проективным многообразием и F связный пучок на нем, то для достаточно больших п, F(п) порождается конечным числом глобальных секций. Более того,

а) Для каждого я, H^я(Икс, F) конечно порождена над р₀, и

(б) (Теорема Серра B ) Есть целое число п₀, в зависимости от F, так что

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}}$.

Расширение связки

Позволять (Икс, О) - окольцованное пространство, и пусть F, ЧАС быть снопами О-модули на Икс. An расширение из ЧАС к F это короткая точная последовательность из О-модули

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

Как и в случае с расширениями группы, если мы исправим F и ЧАС, то все классы эквивалентности расширений ЧАС к F для мужчин абелева группа (ср. Сумма Бэра ), который изоморфен Внешняя группа ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$, где элемент идентичности в ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$ соответствует тривиальному расширению.

В случае, когда ЧАС является О, у нас есть: для любого я ≥ 0,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\mathrm {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

поскольку обе стороны являются правыми производными функторами одного и того же функтора ${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

Примечание: Некоторые авторы, особенно Хартшорн, опускают нижний индекс О.

Предполагать Икс является проективной схемой над нётеровым кольцом. Позволять F, грамм быть связными пучками на Икс и я целое число. Тогда существует п₀ такой, что

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$.^[13]

Смотрите также: локально-глобальная Ext спектральная последовательность

Локально бесплатные разрешения

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$ легко вычисляется для любого когерентного пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ используя локально свободное разрешение^[14]: учитывая комплекс

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

тогда

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

следовательно

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

Примеры

Гиперповерхность

Рассмотрим гладкую гиперповерхность ${\displaystyle X}$ степени ${\displaystyle d}$. Затем мы можем вычислить разрешение

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

и найди это

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

Союз гладких полных пересечений

Рассмотрим схему

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

куда ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$ является гладким полным пересечением и ${\displaystyle {\text{deg}}(f)=d}$, ${\displaystyle {\text{deg}}(g_{i})=e_{i}}$. У нас есть комплекс

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

разрешение ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ который мы можем использовать для вычисления ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$.

Смотрите также

• D-модуль (на месте О, можно также рассмотреть D, пучок дифференциальных операторов.)
• дробный идеал
• голоморфное векторное расслоение
• общая свобода

Примечания

1. Вакиль, Math 216: Основы алгебраической геометрии, 2.5.
2. Hartshorne, Гл. III, предложение 2.2.
3. Этот функтор когомологий совпадает с правым производным функтором глобального функтора сечения в категории абелевых пучков; ср. Hartshorne, Гл. III, предложение 2.6.
4. Есть канонический гомоморфизм:

   ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x}),}$

   который является изоморфизмом, если F имеет конечное представление (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
5. Для когерентных пучков наличие тензорного инверсного равносильно локальному отсутствию ранга один; на самом деле есть следующий факт: если ${\displaystyle F\otimes G\simeq O}$ и если F когерентно, то F, грамм локально свободны от первого ранга. (см. EGA, Глава 0, 5.4.3.)
6. Hartshorne, Гл III, лемма 2.4.
7. смотрите также: https://math.stackexchange.com/q/447234
8. Hartshorne, Гл. II, предложение 5.1.
9. EGA I, Гл. I, предложение 1.3.6. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_I (помощь)
10. EGA I, Гл. Я, Corollaire 1.3.12. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_I (помощь)
11. EGA I, Гл. Я, Corollaire 1.3.9. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEGA_I (помощь)
12. Hartshorne, Гл. II, предложение 5.11.
13. Hartshorne, Гл. III, предложение 6.9.
14. Хартсхорн, Робин. Алгебраическая геометрия. С. 233–235.

Рекомендации

• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. МИСТЕР  0217083.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157