Идеальная связка - Ideal sheaf

В алгебраическая геометрия и другие области математика, идеальный пучок (или же сноп идеалов) является глобальным аналогом идеальный в звенеть. Пучки идеалов на геометрическом объекте тесно связаны с его подпространствами.

Определение

Позволять Икс быть топологическое пространство и А а пучок колец на Икс. (Другими словами, (Икс, А) это окольцованное пространство.) Идеальная связка J в А это подобъект из А в категория связок А-модули, т.е. подпучок из А рассматривается как пучок абелевых групп таких, что

Γ (U, А) · Γ (U, J) ⊆ Γ (U, J)

для всех открытых подмножеств U из Икс. Другими словами, J это пучок А-подмодули А.

Общие свойства

  • Если ж: А → B является гомоморфизмом между двумя пучками колец в одном пространстве Икс, ядро ж идеальная связка в А.
  • И наоборот, для любого идеального пучка J в связке колец А, существует естественная структура пучка колец на частный пучок А/J. Обратите внимание, что каноническая карта
Γ (U, А) / Γ (U, J) → Γ (U, А/J)
для открытых подмножеств U инъективно, но не сюръективно. (Видеть когомологии пучков.)

Алгебраическая геометрия

В контексте схемы, значение идеальных пучков заключается главным образом в соответствии между замкнутыми подсхемы и квазикогерентный идеальные связки. Рассмотрим схему Икс и квазикогерентный идеальный пучок J я неИкс. Затем поддержка Z из OИкс/J является замкнутым подпространством в Икс, и (Z, OИкс/J) - схема (оба утверждения можно проверить локально). Это называется закрытой подсхемой Икс определяется J. Наоборот, пусть я: Z → Икс быть закрытое погружение, т. е. морфизм, являющийся гомеоморфизмом на замкнутое подпространство, такое что ассоциированное отображение

я#: OИкс → я⋆ОZ

сюръективен на стеблях. Тогда ядро J из я# - квазикогерентный пучок идеалов, а я индуцирует изоморфизм из Z на замкнутую подсхему, определяемую J.[1]

Частным случаем этого соответствия является единственный уменьшенный подсхема Икскрасный из Икс с тем же основным пространством, которое определяется нильрадикалом OИкс (определяется по основам или на открытых аффинных диаграммах).[2]

Для морфизма ж: Икс → Y и закрытая подсхема Y ′ ⊆ Y определяется идеальным пучком J, прообраз Y ′ ×Y Икс определяется пучком идеалов[3]

ж⋆(J) OИкс = им (ж⋆J → OИкс).

Отвод идеальной связки J в подсхему Z определяется J содержит важную информацию, он называется конормальный пучок из Z. Например, связка Дифференциалы Kähler можно определить как притягивание идеального пучка, определяющего диагональ Икс → Икс × Икс к Икс. (Предположим для простоты, что Икс является отделенный так что диагональ представляет собой замкнутое погружение.)[4]

Аналитическая геометрия

В теории комплексно-аналитические пространства, то Теорема Ока-Картана утверждает, что замкнутое подмножество А комплексного пространства аналитична тогда и только тогда, когда идеальный пучок функций, исчезающих на А является последовательный. Эта идеальная связка также дает А структура редуцированного замкнутого комплексного подпространства.

Рекомендации

  1. ^ EGA I, 4.2.2 b)
  2. ^ EGA I, 5.1
  3. ^ EGA I, 4.4.5
  4. ^ EGA IV, 16.1.2 и 16.3.1