Зародыш (математика) - Germ (mathematics)

В математика, понятие зародыш объекта в / на топологическое пространство является класс эквивалентности этого объекта и других объектов того же типа, которые фиксируют их общие локальные свойства. В частности, рассматриваемые объекты в основном функции (или же карты ) и подмножества. В конкретных реализациях этой идеи рассматриваемые функции или подмножества будут обладать некоторыми свойствами, такими как аналитичность или гладкость, но в целом в этом нет необходимости (рассматриваемые функции даже не должны быть непрерывный ); однако необходимо, чтобы пространство на /, в котором определяется объект, было топологическим пространством, чтобы слово местный есть смысл.

Название происходит от зародыши злаков в продолжение пучок метафора, поскольку зародыш является (локально) «сердцем» функции, как и зерно.

Формальное определение

Основное определение

Учитывая точку Икс топологического пространства Икс, и две карты ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ (куда Y есть ли набор ), тогда ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ определить тот же росток в Икс если есть район U из Икс такое, что ограничено U, ж и грамм равны; означающий, что ${\displaystyle f(u)=g(u)}$ для всех ты в U.

Аналогично, если S и Т любые два подмножества Икс, то они определяют один и тот же росток на Икс если снова будет район U из Икс такой, что

${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset .}$

Несложно увидеть, что определение того же зародыша в Икс является отношение эквивалентности (будь то на картах или множествах), а классы эквивалентности называются ростками (ростками карт или ростками множеств соответственно). Отношение эквивалентности обычно записывают

${\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.}$

Учитывая карту ж на Икс, то его росток в Икс обычно обозначается [ж ]_Икс. Аналогично зародыш при Икс набора S написано [S]_Икс. Таким образом,

${\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}$

Зародыш карты в Икс в Икс что отображает точку Икс в Икс к точке у в Y обозначается как

${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}$

При использовании этого обозначения ж тогда подразумевается как полный класс эквивалентности карт, используя ту же букву ж для любой представительной карты.

Обратите внимание, что два набора ростково-эквивалентны в Икс если и только если их характеристические функции ростково-эквивалентны в Икс:

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

В более общем смысле

Карты не нужно определять на всех Икс, и, в частности, им не обязательно иметь один и тот же домен. Однако если ж есть домен S и грамм есть домен Т, оба подмножества Икс, тогда ж и грамм ростково эквивалентны в Икс в Икс если первый S и Т ростково эквивалентны в Икс, сказать ${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,}$ а потом более того ${\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}}$, для небольшого района V с ${\displaystyle x\in V\subseteq U}$. Это особенно актуально в двух случаях:

1. ж определено на подмногообразии V из Икс, и
2. ж есть какой-то полюс на Икс, поэтому даже не определен в Икс, как, например, рациональная функция, которая была бы определена выключенный подмногообразие.

Основные свойства

Если ж и грамм ростково эквивалентны в Икс, то они разделяют все локальные свойства, такие как непрерывность, дифференцируемость и т. д., поэтому имеет смысл говорить о дифференцируемый или аналитический ростоки т. д. Аналогично для подмножеств: если один представитель ростка является аналитическим множеством, то таковы все представители, по крайней мере, в некоторой окрестности Икс.

Алгебраические структуры на мишени Y наследуются множеством ростков со значениями в Y. Например, если цель Y это группа, то есть смысл размножить ростки: определить [ж]_Икс[грамм]_Икс, сначала возьмите представителей ж и грамм, определенные на окрестностях U и V соответственно, и определим [ж]_Икс[грамм]_Икс быть зародышем Икс карты точечного произведения фг (который определен на ${\displaystyle U\cap V}$). Таким же образом, если Y является абелева группа, векторное пространство, или же звенеть, то и множество ростков.

Набор микробов на Икс карт из Икс к Y не имеет полезного топология, за исключением дискретный один. Поэтому говорить о сходящейся последовательности ростков практически не имеет смысла. Однако если Икс и Y являются многообразиями, то пространства струи ${\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}$ (ряд Тейлора конечного порядка при Икс карты (-ростков)) имеют топологию, поскольку их можно отождествить с конечномерными векторными пространствами.

Связь со связками

Идея зародышей лежит в основе определения пучков и предпучков. А предпучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ из абелевы группы на топологическом пространстве Икс присваивает абелеву группу ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ к каждому открытому набору U в Икс. Типичными примерами абелевых групп являются: вещественные функции на U, дифференциальные формы на U, векторные поля на U, голоморфные функции на U (когда Икс - комплексное пространство) постоянные функции на U и дифференциальные операторы на U.

Если ${\displaystyle V\subseteq U}$ тогда есть карта ограничений ${\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}$ удовлетворение определенных условия совместимости. Для фиксированного Икс, говорят, что элементы ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$ и ${\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}$ эквивалентны в Икс если есть район ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ из Икс с разрешением_WU(ж) = res_WV(грамм) (оба элемента ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$). Классы эквивалентности образуют стебель ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ в Икс предпучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Это отношение эквивалентности является абстракцией зародышевой эквивалентности, описанной выше.

Интерпретация ростков через пучки также дает общее объяснение наличия алгебраических структур на множествах ростков. Причина в том, что образование стеблей сохраняет конечные пределы. Отсюда следует, что если Т это Теория Ловера и пачка F это Т-алгебра, то любой стебель F_Икс также Т-алгебра.

Примеры

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ имеют дополнительную структуру, можно определить подмножества множества всех карт из Икс к Y или, в более общем смысле, суб-предварительные пучки данного предпучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и соответствующие микробы: некоторые примечательные примеры следуют.

• Если ${\displaystyle X,Y}$ оба топологические пространства, подмножество

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из непрерывные функции определяет ростки непрерывных функций.

• Если оба ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ признать дифференцируемая структура, то подмножество

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из ${\displaystyle k}$-раз непрерывно дифференцируемые функции, то подмножество

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из гладкие функции и подмножество

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из аналитические функции можно определить (${\displaystyle \omega }$ здесь порядковый на бесконечность; это злоупотребление обозначениями, по аналогии с ${\displaystyle C^{k}}$ и ${\displaystyle C^{\infty }}$), а затем пространства ростки (конечно) дифференцируемых, гладкий, аналитические функции могут быть построены.

• Если ${\displaystyle X,Y}$ имеют сложную структуру (например, являются подмножества из сложные векторные пространства ), голоморфные функции между ними могут быть определены, и поэтому пространства ростки голоморфных функций могут быть построены.
• Если ${\displaystyle X,Y}$ есть алгебраическая структура, тогда обычный (и рациональный ) функции между ними могут быть определены, и ростки регулярных функций (и аналогично рациональный) можно определить.
• Зародыш ж : ℝ →Y на положительной бесконечности (или просто росток ж) является ${\displaystyle \{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}}$. Эти микробы используются в асимптотический анализ и Харди поля.

Обозначение

В стебель связки ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ в какой-то момент ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$ обычно обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}$ Как следствие, ростки, составляющие стебли связок разного рода функций, заимствуют такую ​​схему обозначений:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}$ это пространство ростков непрерывных функций в ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}}$ для каждого натуральное число ${\displaystyle k}$ это пространство ростков ${\displaystyle k}$-размерно дифференцируемые функции в ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }}$ это пространство ростков бесконечно дифференцируемых («гладких») функций в ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}$ это пространство ростков аналитических функций в ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$ это пространство ростков голоморфных функций (в сложной геометрии) или пространство ростков регулярных функций (в алгебраической геометрии) при ${\displaystyle x}$.

Для ростков множеств и разновидностей обозначения не так хорошо установлены: некоторые обозначения, встречающиеся в литературе, включают:

• ${\displaystyle {\mathfrak {V}}_{x}}$ это пространство ростков аналитических многообразий в ${\displaystyle x}$. Когда точка ${\displaystyle x}$ фиксировано и известно (например, когда ${\displaystyle X}$ это топологическое векторное пространство и ${\displaystyle x=0}$), его можно опустить в каждый из вышеперечисленных символов: также, когда ${\displaystyle \dim X=n}$, может быть добавлен нижний индекс перед символом. Как пример
• ${\displaystyle {_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}}$ - пространства ростков, показанные выше, когда ${\displaystyle X}$ это ${\displaystyle n}$-размерный векторное пространство и ${\displaystyle x=0}$.

Приложения

Ключевое слово в применении микробов - это местонахождение: все местные свойства функции в точке можно изучить, анализируя ее росток. Они являются обобщением Серия Тейлор, и действительно, ряд Тейлора ростка (дифференцируемой функции) определен: вам нужна только локальная информация для вычисления производных.

Микробы полезны для определения свойств динамические системы рядом с выбранными точками их фазовое пространство: они являются одним из основных инструментов в теория сингулярности и теория катастроф.

Когда рассматриваемые топологические пространства Римановы поверхности или в более общем смысле комплексно-аналитические многообразия, ростки голоморфные функции на них можно рассматривать как степенной ряд, и, таким образом, набор ростков можно рассматривать как аналитическое продолжение из аналитическая функция.

Микробы также могут быть использованы в определении касательные векторы в дифференциальной геометрии. Касательный вектор можно рассматривать как вывод на алгебре ростков в этой точке.^[1]

Алгебраические свойства

Как отмечалось ранее, наборы ростков могут иметь алгебраическую структуру, например быть кольцами. Во многих случаях кольца ростков не являются произвольными кольцами, а обладают вполне определенными свойствами.

Предположим, что Икс это какое-то пространство. Часто бывает, что на каждом Икс ∈ Икс, кольцо ростков функций в Икс это местное кольцо. Так обстоит дело, например, с непрерывными функциями в топологическом пространстве; за k-размерно дифференцируемые, гладкие или аналитические функции на вещественном многообразии (когда такие функции определены); для голоморфных функций на комплексном многообразии; и для регулярных функций на алгебраическом многообразии. Свойство, что кольца ростков являются локальными кольцами, аксиоматизируется теорией локально окольцованные пространства.

Однако типы возникающих локальных колец во многом зависят от рассматриваемой теории. В Подготовительная теорема Вейерштрасса следует, что кольца ростков голоморфных функций Нётерские кольца. Также можно показать, что это обычные кольца. С другой стороны, пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}$ - кольцо ростков в нуле гладких функций на р. Это кольцо местное, но не нётерское. Чтобы понять, почему, заметьте, что максимальный идеал м этого кольца состоит из всех ростков, обращающихся в нуль в начале координат, и степень м^k состоит из тех зародышей, первые k - 1 производные исчезают. Если бы это кольцо было нётеровым, то Теорема Крулля о пересечении означало бы, что гладкая функция, ряд Тейлора которой обращается в ноль, будет нулевой функцией. Но это неверно, как можно увидеть, рассмотрев

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}$

Это кольцо тоже не уникальная область факторизации. Это потому, что все UFD удовлетворяют условие возрастающей цепи на главных идеалах, но существует бесконечная восходящая цепочка главных идеалов

${\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}$

Включения строгие, потому что Икс находится в максимальном идеале м.

Кольцо ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}$ ростков в начале непрерывных функций на р даже обладает тем свойством, что его максимальный идеал м удовлетворяет м² = м. Любой росток ж ∈ м можно записать как

${\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}$

где sgn - знаковая функция. Поскольку |ж| исчезает в начале координат, это выражает ж как произведение двух функций в мОтсюда вывод. Это связано с настройкой почти теория колец.

Смотрите также

• Аналитическое разнообразие
• Теория катастроф
• Аксиома склеивания
• Риманова поверхность
• Пучок
• Стебель

Рекомендации

1. Ту, Л. У. (2007). Введение в многообразия. Нью-Йорк: Спрингер. п. 11.

• Николя Бурбаки (1989). Общая топология. Главы 1-4 (под ред. в мягкой обложке). Springer-Verlag. ISBN  3-540-64241-2., глава I, пункт 6, подпункт 10 "Микробы в точке".
• Рагхаван Нарасимхан (1973). Анализ на реальных и сложных многообразиях (2-е изд.). Северная Голландия Эльзевир. ISBN  0-7204-2501-8., глава 2, п. 2.1 "Основные определения".
• Роберт С. Ганнинг и Хьюго Росси (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Prentice-Hall., Глава 2 "Локальные кольца голоморфных функций", особенно пункт А"Элементарные свойства локальных колец"и параграф E"Ростки разновидностей".
• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическая дифференциация, стр.71, Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-00264-8 .
• Джузеппе Таллини (1973). Varietà Differenziabili e coomologia di De Rham (Дифференцируемые многообразия и когомологии Де Рама). Edizioni Cremonese. ISBN  88-7083-413-1., пункт 31 "Germi di funzioni Differences in un punto ${\displaystyle P}$ ди ${\displaystyle V_{n}}$ (Ростки дифференцируемых функций в точке ${\displaystyle P}$ из ${\displaystyle V_{n}}$)"(на итальянском).

внешняя ссылка

• Чирка, Евгений Михайлович (2001) [1994], "Росток", Энциклопедия математики, EMS Press
• Росток гладких функций в PlanetMath.org.
• Мозырская, Дорота; Бартосевич, Збигнев (2006). «Системы ростков и теоремы нулей в бесконечномерных пространствах». arXiv:математика / 0612355. Bibcode:2006математика ..... 12355M. Препринт исследования, посвященный микробам аналитические многообразия в бесконечном пространстве.