Почти кольцо - Almost ring

В математика, почти модули и почти звенит некоторые объекты интерполируют между кольца и их поля дробей. Их представил Герд Фальтингс  (1988 ) в своем исследовании п-адическая теория Ходжа.

Почти модули

Позволять V быть местный область целостности с максимальный идеал м, и K а поле дроби из V. В категория из K-модули, K-Мод, может быть получен как частное из V-Мод посредством Подкатегория Серра из торсионные модули, т.е. те N так что любой элемент п ∈ N аннулируется некоторым ненулевым элементом максимального идеала. Если категорию торсионных модулей заменить на меньшую подкатегория, получаем промежуточный шаг между V-модули и K-модули. Фальтингс предложил использовать подкатегорию почти ноль модули, т.е. N ∈ V-Мод так что любой элемент n ∈ N уничтожен все элементы максимального идеала.

Чтобы эта идея работала, м и V должны соответствовать определенным техническим условиям. Позволять V быть звенеть (не обязательно местный) и м ⊆ V идемпотент идеальный, т.е. м² = м. Предположим также, что м ⊗ м это плоский V-модуль. Модуль N над V является почти ноль в отношении таких м если для всех ε ∈ м и п ∈ N у нас есть εn = 0. Почти нулевые модули образуют подкатегорию Серра в категории V-модули. Категория почти V-модули, V^а-Мод, это локализация из V-Мод по этой подкатегории.

Частное функтор V-Мод → V^а-Мод обозначается ${\displaystyle N\mapsto N^{a}}$. Предположения о м гарантировать, что ${\displaystyle (-)^{a}}$ является точный функтор который имеет право присоединенный функтор ${\displaystyle M\mapsto M_{*}}$ и левый сопряженный функтор ${\displaystyle M\mapsto M_{!}}$. Более того, ${\displaystyle (-)_{*}}$ является полный и верный. Категория почти модулей полный и завершенный.

Почти кольца

В тензорное произведение из V-модули спускаются до моноидальная структура на V^а-Мод. Почти модуль р ∈ V^а-Мод с картой р ⊗ р → р удовлетворяющие естественным условиям, аналогично определению кольца, называется почти V-алгебра или почти кольцо если контекст однозначный. Многие стандартные свойства алгебр и морфизмов между ними переносятся на «почти» мир.

Пример

В оригинальной статье Фалтингса, V был целостное закрытие из кольцо дискретной оценки в алгебраическое замыкание своего поле частного, и м его максимальный идеал. Например, пусть V быть ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]}$, т.е. п-адический завершение из ${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]}$. Брать м быть максимальным идеалом этого кольца. Тогда частное В / м - почти нулевой модуль, а В / п - кручение, но не почти нулевой модуль, поскольку класс п^1/п2 в частном не уничтожается п^1/п2 рассматривается как элемент м.

Рекомендации

• Фальтингс, Герд (1988), "p-адическая теория Ходжа", Журнал Американского математического общества, 1 (1): 255–299, Дои:10.2307/1990970, МИСТЕР  0924705
• Габбер, Офер; Рамеро, Лоренцо (2003), Почти теория колец, Конспект лекций по математике, 1800, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b10047, ISBN  3-540-40594-1, МИСТЕР  2004652