П-адическая теория Ходжа - P-adic Hodge theory

В математика, п-адическая теория Ходжа теория, которая позволяет классифицировать и изучать п-адические представления Галуа из характеристика 0 местные поля^[1] с остаточной характеристикой п (Такие как Q_п ). Теория берет свое начало в Жан-Пьер Серр и Джон Тейт исследование Модули Тейт из абелевы разновидности и понятие Представление Ходжа – Тейта. Представления Ходжа – Тейта связаны с некоторыми разложениями п-адический когомология теории, аналогичные Разложение Ходжа, отсюда и название п-адическая теория Ходжа. Дальнейшие разработки были вдохновлены свойствами п-адические представления Галуа, возникающие из этальные когомологии из разновидности. Жан-Марк Фонтен представил многие из основных понятий в данной области.

Общая классификация п-адические представления

Позволять K - локальное поле с полем вычетов k характерных п. В этой статье p-адическое представление из K (или из грамм_K, то абсолютная группа Галуа из K) будет непрерывный представление ρ: грамм_K→ GL (V), куда V является конечномерным векторное пространство над Q_п. Сборник всех п-адические представления K для мужчин абелева категория обозначенный ${\displaystyle \mathrm {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)}$ в этой статье. п-адическая теория Ходжа предоставляет подколлекции п-адические представления, основанные на том, насколько они хороши, а также предоставляет верные функторы в категории линейная алгебраическая объекты, которые легче изучать. Базовая классификация выглядит следующим образом:^[2]

${\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {cris} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{st}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)}$

где каждая коллекция - это полная подкатегория должным образом содержится в следующем. По порядку это категории кристаллические представления, полустабильные представления, представления де Рама, Представления Ходжа – Тейта и все п-адические представления. Кроме того, можно ввести две другие категории представлений: потенциально кристаллические представления Представитель_pcris(K) и потенциально полустабильные представления Представитель_{Тихоокеанское стандартное время}(K). Последний строго содержит первый, который, в свою очередь, обычно строго содержит Rep_крис(K); кроме того, представитель_{Тихоокеанское стандартное время}(K) вообще строго содержит Rep_ул(K) и содержится в Rep_dR(K) (с равенством, когда поле вычетов K конечно, утверждение, называемое п-адическая теорема монодромии ).

Кольца периодов и изоморфизмы сравнения в арифметической геометрии

Общая стратегия п-адическая теория Ходжа, введенная Фонтеном, состоит в построении некоторых так называемых кольца периода^[3] Такие как B_dR, B_ул, B_крис, и B_HT которые имеют как действие к грамм_K и некоторую линейную алгебраическую структуру и рассмотреть так называемые Модули Дьедонне

${\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}}$

(куда B кольцо периода, и V это п-адическое представление), у которых больше нет грамм_K-действие, но наделены линейными алгебраическими структурами, унаследованными от кольца B. В частности, это векторные пространства над фиксированным полем ${\displaystyle E:=B^{G_{K}}}$.^[4] Эта конструкция укладывается в формализм B-допустимые представления представленный Фонтеном. Для кольца периода, подобного вышеупомянутым B_∗ (для ∗ = HT, dR, st, cris) категория п-адические представления Rep_∗(K) упомянутая выше категория B_∗-допустимый те, то есть те п-адические представления V для которого

${\displaystyle \dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

или, что то же самое, морфизм сравнения

${\displaystyle \alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V}$

является изоморфизм.

Этот формализм (и название кольца периодов) вырос из нескольких результатов и предположений относительно изоморфизмов сравнения в арифметика и сложная геометрия:

• Если Икс это правильный гладкий схема над C, существует классический изоморфизм сравнения между алгебраические когомологии де Рама из Икс над C и особые когомологии из Икс(C)

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} .}$

Этот изоморфизм можно получить, рассматривая спаривание получено интеграция дифференциальные формы в алгебраических когомологиях де Рама над циклы в особых когомологиях. Результат такой интеграции называется период и обычно является комплексным числом. Это объясняет, почему особые когомологии должны быть натянутый к C, и с этой точки зрения C можно сказать, что он содержит все периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с сингулярными когомологиями, и, следовательно, может быть назван кольцом периодов в этой ситуации.

• В середине шестидесятых Тейт предположил^[5] что аналогичный изоморфизм должен выполняться для собственных гладких схем Икс над K между алгебраическими когомологиями де Рама и п-адические этальные когомологии ( Гипотеза Ходжа – Тейта, также называемый C_HT). В частности, пусть C_K быть завершение из алгебраическое замыкание из K, позволять C_K(я) обозначают C_K где действие грамм_K через грамм·z = χ (грамм)^яграмм·z (где χ - п-адический циклотомический характер, и я целое число), и пусть ${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)}$. Тогда существует функториальный изоморфизм

${\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

из градуированные векторные пространства с грамм_K-действие (когомологии де Рама снабжены Фильтрация Ходжа, и ${\displaystyle \mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }}$ является его связанным градуированным). Эта гипотеза была доказана Герд Фальтингс в конце восьмидесятых^[6] после частичных результатов нескольких других математиков (включая самого Тейта).

• Для абелевой разновидности Икс с хорошей редукцией за п-адическое поле K, Александр Гротендик переформулировал теорему Тейта, чтобы сказать, что кристаллические когомологии ЧАС¹(Икс/W(k)) ⊗ Q_п специального слоя (с эндоморфизмом Фробениуса на этой группе и фильтрацией Ходжа на этой группе, тензором с K) и п-адические этальные когомологии ЧАС¹(Икс,Q_п) (с действием группы Галуа K) содержала ту же информацию. Оба эквивалентны п-делимая группа связано с Икс, вплоть до изогении. Гротендик предположил, что должен быть выход прямо из п-адические этальные когомологии к кристаллическим когомологиям (и обратно) для всех разновидностей с хорошей редукцией по п-адические поля.^[7] Это предполагаемое соотношение стало известно как таинственный функтор.

Чтобы улучшить гипотезу Ходжа – Тейта до гипотезы, содержащей когомологии де Рама (а не только связанные с ней градуированные), Фонтейн построил^[8] а фильтрованный звенеть B_dR чья ассоциированная оценка B_HT и предположил^[9] следующие (называемые C_dR) для любой гладкой правильной схемы Икс над K

${\displaystyle B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

как фильтрованные векторные пространства с грамм_K-действие. Таким образом, B_dR можно сказать, что он содержит все (п-адические) периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с п-адические этальные когомологии, точно так же, как комплексные числа выше использовались при сравнении с сингулярными когомологиями. Это где B_dR получает свое имя кольцо p-адических периодов.

Точно так же, чтобы сформулировать гипотезу, объясняющую загадочный функтор Гротендика, Фонтейн ввел кольцо B_крис с грамм_K-действие, "Фробениус" φ и фильтрация после расширения скаляров из K₀ к K. Он предположил^[10] следующие (называемые C_крис) для любой гладкой правильной схемы Икс над K с хорошим сокращением

${\displaystyle B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

как векторные пространства с φ-действием, грамм_K-действие и фильтрация после расширения скаляров до K (здесь ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)}$ дается его структура как K₀-векторное пространство с φ-действием, заданным его сравнением с кристаллическими когомологиями). Оба C_dR и C_крис предположения были доказаны Фальтингсом.^[11]

Сравнивая эти две гипотезы с понятием B_∗-допустимые представления выше, видно, что если Икс - правильная гладкая схема над K (с хорошей редукцией) и V это п-адическое представление Галуа, полученное как его яth п-адическая этальная группа когомологий, то

${\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K).}$

Другими словами, модули Дьедонне следует рассматривать как задающие другие когомологии, связанные с V.

В конце 80-х Фонтейн и Уве Яннсен сформулировали еще одну гипотезу об изоморфизме сравнения, C_ул, на этот раз позволяя Икс иметь полустабильное восстановление. Фонтейн построен^[12] кольцо B_ул с грамм_K-действие, "Фробениус" φ, фильтрация после расширения скаляров из K₀ к K (и исправление расширения п-адический логарифм ) и "оператор монодромии" N. Когда Икс имеет полустабильную редукцию, когомологии де Рама можно снабдить φ-действием и оператором монодромии, сравнив его с лог-кристаллические когомологии впервые представил Осаму Хёдо.^[13] Затем гипотеза утверждает, что

${\displaystyle B_{\mathrm {st} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}$

как векторные пространства с φ-действием, грамм_K-действие, фильтрация после расширения скаляров до K, и оператор монодромии N. Это предположение было доказано в конце девяностых годов Такеши Цудзи.^[14]

Примечания

1. В этой статье местное поле является полный поле дискретной оценки чье поле вычетов идеально.
2. Фонтейн 1994, п. 114
3. Эти кольца зависят от локального поля K вопрос, но это соотношение обычно опускается из обозначений.
4. За B = B_HT, B_dR, B_ул, и B_крис, ${\displaystyle B^{G_{K}}}$ является K, K, K₀, и K₀соответственно, где K₀ = Frac (W(k)), поле дроби из Векторы Витта из k.
5. Видеть Серр 1967
6. Фальтингс 1988 г.
7. Гротендик 1971, п. 435
8. Фонтейн 1982
9. Фонтейн 1982, Гипотеза A.6
10. Фонтейн 1982, Гипотеза A.11
11. Фальтингс 1989 г. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFaltings1989 (помощь)
12. Фонтейн 1994, Exposé II, раздел 3
13. Хёдо 1991
14. Цудзи 1999

Рекомендации

Основные источники

• Тейт, Джон (1966) "п-Делимые группы », в материалах конференции по локальным полям, Springer, 1967. doi: 10.1007 / 978-3-642-87942-5
• Фальтингс, Герд (1988), "п-адическая теория Ходжа », Журнал Американского математического общества, 1 (1): 255–299, Дои:10.2307/1990970, МИСТЕР  0924705
• Фальтингс, Герд, "Кристаллические когомологии и п-адические представления Галуа », в Игуса, Дзюн-Ичи (ред.), Алгебраический анализ, геометрия и теория чисел, Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, стр. 25–80, ISBN  978-0-8018-3841-5, МИСТЕР  1463696
• Фонтен, Жан-Марк (1982), "Некоторые типы представлений п-adiques du groupe de Galois d'un corps local; строительство d'un anneau de Barsotti – Tate ", Анналы математики, 115 (3): 529–577, Дои:10.2307/2007012, МИСТЕР  0657238
• Гротендик, Александр (1971), "Группы Барсотти – Тейт и др.", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), 1, стр. 431–436, МИСТЕР  0578496
• Хёдо, Осаму (1991), «О комплексе де Рама-Витта, прикрепленном к полустабильной семье», Compositio Mathematica, 78 (3): 241–260, МИСТЕР  1106296
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Резюме курсов, 1965–66», Annuaire du Collège de France, Париж, стр. 49–58.
• Цудзи, Такеши (1999), "п-адические этальные когомологии и кристаллические когомологии в случае полустабильной редукции », Inventiones Mathematicae, 137 (2): 233–411, Bibcode:1999ИнМат.137..233Т, Дои:10.1007 / s002220050330, МИСТЕР  1705837

Вторичные источники

• Бергер, Лоран (2004), "Введение в теорию п-адические представления », Геометрические аспекты теории Дворка, я, Берлин: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv:математика / 0210184, Bibcode:2002математика ..... 10184B, ISBN  978-3-11-017478-6, МИСТЕР  2023292
• Бринон, Оливье; Конрад, Брайан (2009), Заметки летней школы CMI по p-адической теории Ходжа (PDF), получено 2010-02-05
• Фонтен, Жан-Марк, изд. (1994), Périodes p-adiques, Astérisque, 223, Париж: Société Mathématique de France, МИСТЕР  1293969
• Illusie, Люк (1990), "Cohomologie de Rham et cohomologie étale" п-adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726 ", Séminaire Bourbaki. Vol. 1989/90. Выставки 715–729, Astérisque, 189–190, Париж: Société Mathématique de France, стр. 325–374, МИСТЕР  1099881