Полиномиальный функтор - Polynomial functor

В алгебре полиномиальный функтор является эндофунктор на категория ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ конечномерных векторных пространств который полиномиально зависит от векторных пространств. Например, симметричные степени ${\displaystyle V\mapsto \operatorname {Sym} ^{n}(V)}$ и внешние силы ${\displaystyle V\mapsto \wedge ^{n}(V)}$ являются полиномиальными функторами из ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ к ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$; эти двое также Функторы Шура.

Это понятие появляется в теория представлений а также теория категорий (в исчисление функторов ). В частности, категория однородных полиномиальных функторов степени п эквивалентен категория конечномерных представлений из симметричная группа ${\displaystyle S_{n}}$ над полем характеристики нуль.^[1]

Определение

Позволять k быть поле из характеристика ноль и ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ в категория конечномерных k-векторные пространства и k-линейные карты. Затем эндофунктор ${\displaystyle F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}}$ это полиномиальный функтор если выполняются следующие эквивалентные условия:

• Для каждой пары векторных пространств Икс, Y в ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, карта ${\displaystyle F\colon \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$ это полиномиальное отображение (т.е. вектор-многочлен в линейных формах).
• Данные линейные карты ${\displaystyle f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r}$ в ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, функция ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$ определено на ${\displaystyle k^{r}}$ является полиномиальной функцией с коэффициенты в ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$.

Полиномиальный функтор называется однородный степени п если для любых линейных карт ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ с общими областями определения и области значений векторнозначный многочлен ${\displaystyle F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$ однороден по степени п.

Варианты

Если «конечные векторные пространства» заменить на «конечные множества», получится понятие комбинаторные виды (точнее, полиномиального характера).

Рекомендации

1. Макдональд, Гл. I, Приложение A: 5.4. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFMacdonald (помощь)

• Макдональд, Ян Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр.ISBN  0-19-853489-2 МИСТЕР1354144