Функтор Шура - Schur functor

В математика, особенно в области теория представлений, Функторы Шура уверены функторы от категория из модули за фиксированный коммутативное кольцо себе. Они обобщают конструкции внешние силы и симметричные степени из векторное пространство. Функторы Шура индексируются Диаграммы Юнга таким образом, чтобы горизонтальная диаграмма с п ячеек соответствует п-й функтор внешней мощности, а вертикальная диаграмма с п ячеек соответствует п-й симметричный степенной функтор. Если векторное пространство V это представление из группа грамм, тогда ${displaystyle mathbb {S} ^ {lambda} V}$ также имеет естественное действие грамм для любого функтора Шура ${displaystyle mathbb {S} ^ {lambda} (-)}$ .

Определение

Функторы Шура индексируются перегородки и описываются следующим образом. Позволять р коммутативное кольцо, E ан р-модуль и λ разбиение натурального п. Позволять Т быть Молодая картина формы λ, тем самым индексируя факторы п-складывать прямой продукт, E × E × ... × E, с коробками Т. Рассмотрим эти карты р-модули ${displaystyle varphi: E ^ {imes n} o M}$ удовлетворяющие следующим условиям

(1) ${displaystyle varphi}$ полилинейный,

(2) ${displaystyle varphi}$ чередуется в записях, индексированных каждым столбцом Т,

(3) ${displaystyle varphi}$ удовлетворяет условию обмена, гласящему, что если ${displaystyle Isubset {1,2, dots, n}}$ числа из столбца я из Т тогда

{displaystyle varphi (x) = sum _ {x '} varphi (x')}

где сумма закончилась п- пары Икс' получен из Икс путем обмена элементами, индексированными я с любым ${displaystyle | I |}$ элементы, проиндексированные числами в столбце ${displaystyle i-1}$ (чтобы).

Универсальный р-модуль ${displaystyle mathbb {S} ^ {lambda} E}$ что расширяет ${displaystyle varphi}$ к отображению р-модули ${displaystyle {ilde {varphi}}: mathbb {S} ^ {lambda} E o M}$ это изображение E под функтором Шура с индексом λ.

Например, условие (3) на ${displaystyle varphi}$ предположим, что λ - разбиение ${displaystyle (2,2,1)}$ и таблицаТ пронумерован так, чтобы его записи были 1, 2, 3, 4, 5 при чтении сверху вниз (слева направо). Принимая ${displaystyle I = {4,5}}$ (т.е. числа во втором столбце Т) у нас есть

{displaystyle varphi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = varphi (x_ {4}, x_ {5}, x_ {3}, x_ {1) }, x_ {2}) + varphi (x_ {4}, x_ {2}, x_ {5}, x_ {1}, x_ {3}) + varphi (x_ {1}, x_ {4}, x_ { 5}, x_ {2}, x_ {3}),}

а если ${displaystyle I = {5}}$ тогда

{displaystyle varphi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = varphi (x_ {5}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4) }, x_ {1}) + varphi (x_ {1}, x_ {5}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {2}) + varphi (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 5}, x_ {4}, x_ {3}).}

Примеры

Исправить векторное пространство V через поле из характеристика нуль. Мы идентифицируем перегородки и соответствующие диаграммы Юнга. Имеют место следующие описания:^[1]

Для разбиения λ = (n) функтор Шура S^λ(V) = Λ^п(V).
Для разбиения λ = (1, ..., 1) (повторяется п раз) функтор Шура S^λ(V) = Sym^п(V).
Для разбиения λ = (2, 1) функтор Шура S^λ(V) это коядро из коумножение отображение внешних степеней Λ³(V) → Λ²(V) ⊗ V.
Для разбиения λ = (2, 2) функтор Шура S^λ(V) является фактором Λ²(V) ⊗ Λ²(V) изображениями двух карт. Один из них - композиция Λ³(V) ⊗ V → Λ²(V) ⊗ V ⊗ V → Λ²(V) ⊗ Λ²(V), где первая карта - это умножение по первой координате. Другое отображение - это коумножение Λ⁴(V) → Λ²(V) ⊗ Λ²(V).
Для разбиения λ = (п, 1, ..., 1), с повторением 1 м раз, функтор Шура S^λ(V) является фактором Λ^п(V) ⊗ Sym^м(V) по образу композиции коумножения по внешним степеням и умножения по симметричным степеням:

{displaystyle Lambda ^ {n + 1} (V) otimes mathrm {Sym} ^ {m-1} (V) {xrightarrow {Delta otimes mathrm {id}}} Lambda ^ {n} (V) otimes Votimes mathrm {Sym } ^ {m-1} (V) {xrightarrow {mathrm {id} otimes cdot}} Lambda ^ {n} (V) otimes mathrm {Sym} ^ {m} (V)}

Приложения

Позволять V быть сложный векторное пространство размерности k. Это тавтологический представление своего группа автоморфизмов GL (V). Если λ - диаграмма, в каждой строке которой не более k ячеек, то S^λ(V) является несводимый GL (V) -представление самый высокий вес λ. Фактически любой рациональное представление GL (V) изоморфна прямой сумме представлений вида S^λ(V) ⊗ det (V)^⊗м, где λ - диаграмма Юнга, каждая строка которой строго короче k, и м - любое (возможно отрицательное) целое число.

В контексте Двойственность Шура-Вейля заявляет, что как ${displaystyle GL (V)}$ -модуль

{displaystyle V ^ {otimes n} = igoplus _ {lambda vdash n: ell (lambda) leq k} (mathbb {S} ^ {lambda} V) ^ {oplus f ^ {lambda}}}

куда ${displaystyle f ^ {lambda}}$ - количество стандартных молодых таблиц формы λ. В более общем смысле, у нас есть разложение тензорного произведения как ${displaystyle GL (V) imes {mathfrak {S}} _ {n}}$ -бимодуль

{displaystyle V ^ {otimes n} = igoplus _ {lambda vdash n: ell (lambda) leq k} (mathbb {S} ^ {lambda} V) otimes operatorname {Specht} (lambda)}

куда ${displaystyle operatorname {Specht} (лямбда)}$ это Модуль Specht индексируется λ. Функторы Шура можно также использовать для описания координатного кольца некоторых многообразий флагов.

Плетизм

Для двух диаграмм Юнга λ и μ рассмотрим композицию соответствующих функторов Шура S^λ(S^μ(-)). Эта композиция называется плетизм значений λ и μ. Из общей теории известно^[1] что, по крайней мере, для векторных пространств над нулевым характеристическим полем плетизм изоморфен прямой сумме функторов Шура. Проблема определения того, какие диаграммы Юнга встречаются в этом описании и как вычислить их кратности, остается открытой, за исключением некоторых особых случаев, таких как Sym^м(Сим²(V)).

Смотрите также

внешняя ссылка

Функторы Шура | Кафе n-категории

[weyman-1] а ^б Вейман, Ежи (2003). Когомологии векторных расслоений и сизигий. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511546556. ISBN 9780511546556.

[1]