Молодая картина - Young tableau

В математика, а Молодая картина (/тæˈблoʊ,ˈтæблoʊ/; множественное число: картины) это комбинаторный объект полезен в теория представлений и Исчисление Шуберта. Это удобный способ описать групповые представления из симметричный и общий линейный группы и изучить их свойства. Юные картины были представлены Альфред Янг, а математик в Кембриджский университет, в 1900 г.^[1]^[2] Затем они были применены к изучению симметрической группы Георг Фробениус в 1903 году. Их теория получила дальнейшее развитие многими математиками, в том числе Перси МакМахон, В. В. Д. Ходж, Г. де Б. Робинсон, Джан-Карло Рота, Ален Ласку, Марсель-Пауль Шютценбергер и Ричард П. Стэнли.

Определения

Примечание: в этой статье используется английское соглашение для отображения диаграмм и таблиц Юнга..

Диаграммы

Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), английские обозначения

Диаграмма Юнга формы (5, 4, 1), французская нотация

А Диаграмма Юнга (также называемый Диаграмма Феррерса (особенно при представлении с использованием точек) представляет собой конечный набор ячеек или ячеек, расположенных в выровненных по левому краю строках с длинами строк в порядке невозрастания. Перечисление количества коробок в каждой строке дает раздел $λ$ неотрицательного целого числа $п$ , общее количество ящиков диаграммы. Диаграмма Юнга имеет форму $λ$ , и он несет ту же информацию, что и этот раздел. Включение одной диаграммы Юнга в другую определяет частичный заказ на множестве всех разделов, что фактически является решетка структура, известная как Решетка Юнга. Перечисление количества блоков диаграммы Юнга в каждом столбце дает еще одно разделение, сопрягать или транспонировать разделение $λ$ ; диаграмму Юнга этой формы можно получить, отразив исходную диаграмму вдоль ее главной диагонали.

Практически все согласны с тем, что при маркировке ящиков диаграмм Юнга парами целых чисел первый индекс выбирает строку диаграммы, а второй индекс выбирает ячейку внутри строки. Тем не менее, существуют два различных соглашения для отображения этих диаграмм и, следовательно, таблиц: первое помещает каждую строку ниже предыдущей, второе складывает каждую строку поверх предыдущей. Поскольку первое соглашение в основном используется Англофоны в то время как последнее часто предпочитают Франкофоны эти условные обозначения принято называть соответственно Английская нотация и Французская нотация; например, в его книге о симметричные функции, Макдональд советует читателям, предпочитающим французскую конвенцию, «читать эту книгу вверх ногами в зеркале» (Macdonald, 1979, p. 2). Эта номенклатура, вероятно, изначально была шутливой. Английская нотация соответствует той, которая повсеместно используется для матриц, в то время как французская нотация ближе к соглашению Декартовы координаты; однако французская система обозначений отличается от этого соглашения тем, что сначала ставится вертикальная координата. На рисунке справа в английских обозначениях показана диаграмма Юнга, соответствующая разбиению (5, 4, 1) числа 10. Сопряженное разбиение, измеряющее длины столбцов, равно (3, 2, 2, 2, 1).

Длина руки и ноги

Во многих приложениях, например, при определении Джек функции, удобно определить длина руки а_λ(s) коробки s как количество квадратов справа от s на диаграмме λ. Точно так же длина ног л_λ(s) - количество полей ниже s. Эта нотация предполагает, что используется английская нотация. крючок стоимость коробки s в λ тогда просто а_λ(s)+л_λ(s)+1.

Tableaux

Стандартная таблица формы Юнга (5, 4, 1)

А Молодая картина получается заполнением прямоугольников диаграммы Юнга символами, взятыми из некоторых алфавит, который обычно требуется полностью заказанный набор. Первоначально этот алфавит представлял собой набор индексированных переменных. $Икс 1$ , $Икс 2$ , $Икс 3$ ..., но сейчас для краткости обычно используется набор чисел. В их первоначальном заявлении на представления симметрической группы, Молодые картины имеют $п$ отдельные записи, произвольно назначенные блокам диаграммы. Таблица называется стандарт если количество записей в каждой строке и каждом столбце увеличивается. Количество различных стандартных картин Юнга на $п$ записи даются числа инволюции

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ).

В других приложениях естественно позволить одному и тому же числу появляться в таблице более одного раза (или не появляться вовсе). Таблица называется полустандартный, или колонка строгая, если записи слабо увеличиваются по каждой строке и строго растут вниз по каждому столбцу. Запись того, сколько раз каждое число появляется в таблице, дает последовательность, известную как вес таблицы. Таким образом, стандартные таблицы Юнга - это в точности полустандартные таблицы веса (1,1, ..., 1), для которых требуется каждое целое число до $п$ произойти ровно один раз.

Вариации

Есть несколько вариантов этого определения: например, в таблице со строгим контролем по строкам записи строго увеличиваются по строкам и слабо увеличиваются по столбцам. Также, таблицы с уменьшение статьи были рассмотрены, в частности, в теории плоские перегородки. Существуют также обобщения, такие как таблицы домино или ленточные таблицы, в которых несколько блоков могут быть сгруппированы вместе перед назначением им записей.

Наклонные таблицы

Наклонная таблица формы (5, 4, 2, 2) / (2, 1), английская нотация

А перекос пара разбиений ( $λ$ , $μ$ ) такая, что диаграмма Юнга $λ$ содержит диаграмму Юнга $μ$ ; это обозначается $λ / μ$ . Если $λ = (λ 1, λ 2, ...)$ и $μ = (μ 1, μ 2, ...)$ , то наличие диаграмм означает, что $μ я \leq λ я$ для всех $я$ . В наклонная диаграмма скошенной формы $λ / μ$ - теоретико-множественная разность диаграмм Юнга $λ$ и $μ$ : набор квадратов, принадлежащих диаграмме $λ$ но не к $μ$ . А наклонная таблица формы $λ / μ$ получается заливкой квадратов соответствующей косой диаграммы; такая таблица является полустандартной, если элементы слабо растут вдоль каждой строки и растут строго вниз по каждому столбцу, и стандартна, если, кроме того, все числа от 1 до числа квадратов косой диаграммы встречаются ровно один раз. Хотя отображение разбиений на их диаграммы Юнга является инъективным, это не относится к отображению перекосов на перекосные диаграммы;^[3] поэтому форму косой диаграммы не всегда можно определить только по набору закрашенных квадратов. Хотя многие свойства наклонных таблиц зависят только от закрашенных квадратов, некоторые операции, определенные для них, требуют явного знания $λ$ и $μ$ , поэтому важно, чтобы наклонные таблицы действительно записывали эту информацию: две разные наклонные таблицы могут отличаться только своей формой, в то время как они занимают один и тот же набор квадратов, каждая из которых заполнена одними и теми же записями.^[4] Молодые картины можно идентифицировать с перекосами, в которых $μ$ - это пустое разбиение (0) (единственное разбиение 0).

Любая косая полустандартная таблица $Т$ формы $λ / μ$ с положительными целыми элементами приводит к последовательности разбиений (или диаграмм Юнга), начиная с $μ$ , и взяв за раздел $я$ помещает далее в последовательность тот, диаграмма которого получается из диаграммы $μ$ добавив все поля, содержащие значение ≤ $я$ в $Т$ ; этот раздел со временем становится равным $λ$ . Любая пара последовательных фигур в такой последовательности представляет собой скошенную форму, диаграмма которой содержит не более одного прямоугольника в каждом столбце; такие формы называются горизонтальные полосы. Эта последовательность перегородок полностью определяет $Т$ , и фактически возможно определить (перекосить) полустандартные таблицы как такие последовательности, как это сделал Макдональд (Macdonald, 1979, p. 4). Это определение включает разделы $λ$ и $μ$ в данных, составляющих наклонную таблицу.

Обзор приложений

Юные картины находят множество применений в комбинаторика, теория представлений, и алгебраическая геометрия. Были исследованы различные способы подсчета таблиц Юнга, которые привели к определению и идентичности для Функции Шура. Известно много комбинаторных алгоритмов на таблицах, в том числе алгоритм Шютценбергера. Jeu de Taquin и Переписка Робинсона – Шенстеда – Кнута. Ласку и Шютценбергер изучали ассоциативный произведение на множество всех полустандартных таблиц Юнга, придавая ему структуру, называемую пластический моноид (Французский: Le Monoïde Plaxique).

В теории представлений стандартные таблицы Юнга размера $k$ описывать базисы в неприводимых представлениях симметричная группа на $k$ письма. В стандартный мономиальный базис в конечномерном неприводимое представление из общая линейная группа $GL п$ параметризуются набором полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы над алфавитом {1, 2, ..., $п$ }. Это имеет важные последствия для теория инвариантов, начиная с работы Ходж на однородное координатное кольцо из Грассманиан и далее исследовано Джан-Карло Рота с соавторами, де Кончини и Procesi, и Эйзенбуд. В Правило Литтлвуда – Ричардсона описывая (среди прочего) разложение тензорные произведения неприводимых представлений $GL п$ на неприводимые компоненты формулируется в терминах некоторых косых полустандартных таблиц.

Приложения к алгебраической геометрии сосредоточены вокруг Исчисление Шуберта на грассманианах и разновидности флага. Некоторые важные классы когомологий может быть представлен Полиномы Шуберта и описаны в терминах таблиц Юнга.

Приложения в теории представлений

Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимые представления из симметричная группа над сложные числа. Они предоставляют удобный способ указать Юные симметризаторы откуда неприводимые представления построены. Многие факты о представлении можно вывести из соответствующей диаграммы. Ниже мы описываем два примера: определение размерности представления и ограниченные представления. В обоих случаях мы увидим, что некоторые свойства представления можно определить, используя только его диаграмму.

Диаграммы Юнга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления общая линейная группа $GL п$ (когда у них самое большее $п$ непустые строки), или неприводимые представления специальная линейная группа $SL п$ (когда у них самое большее $п - 1$ непустых строк), или неприводимые комплексные представления особая унитарная группа $SU п$ (опять же, когда у них самое большее $п - 1$ непустые строки). В этих случаях полустандартные таблицы с количеством записей до $п$ играют центральную роль, а не стандартные картины; в частности, количество этих таблиц определяет размерность представления.

Размерность представления

Длина крючка ящиков для перегородки 10 = 5 + 4 + 1

Размерность неприводимого представления $π λ$ симметрической группы $S п$ соответствующий разделу $λ$ из $п$ равно количеству различных стандартных таблиц Юнга, которые можно получить из диаграммы представления. Это число можно рассчитать по формула длины крючка.

А длина крючка $крючок (Икс)$ коробки $Икс$ в диаграмме Юнга $Y (λ)$ формы $λ$ - это количество полей, которые находятся в одной строке справа от него, плюс эти поля в том же столбце под ним, плюс один (для самого поля). По формуле длины крюка размерность неприводимого представления равна $п!$ деленное на произведение длин крючков всех ящиков на схеме изображения:

{ displaystyle dim pi _ { lambda} = { frac {n!} { prod _ {x in Y ( lambda)} operatorname {hook} (x)}}.}

На рисунке справа показаны длины крючков для всех ящиков на схеме перегородки 10 = 5 + 4 + 1. Таким образом,

{ displaystyle dim pi _ { lambda} = { frac {10!} {7 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 1 cdot 5 cdot 3 cdot 2 cdot 1 cdot 1} } = 288.}

Аналогично размерность неприводимого представления $W (λ)$ из $GL р$ соответствующий разделу λ из п (не более р частей) - количество полустандартных таблиц Юнга формы λ (содержит только записи от 1 до р), которая определяется формулой длины крючка:

{ displaystyle dim W ( lambda) = prod _ {(i, j) in Y ( lambda)} { frac {r + ji} { operatorname {hook} (i, j)}}, }

где индекс я дает строку и j столбец коробки.^[5] Например, для разбиения (5,4,1) мы получаем как размерность соответствующего неприводимого представления $GL 7$ (обходя коробки по строкам):

{ Displaystyle тусклый W ( лямбда) = { гидроразрыва {7 CDOT 8 CDOT 9 CDOT 10 CDOT 11 CDOT 6 CDOT 7 CDOT 8 CDOT 9 CDOT 5} {7 CDOT 5 cdot 4 cdot 3 cdot 1 cdot 5 cdot 3 cdot 2 cdot 1 cdot 1}} = 66528.}

Запрещенные представления

Представление симметрической группы на $п$ элементы $S п$ также является представлением симметрической группы на $п - 1$ элементы $S п -1$ . Однако неприводимое представление $S п$ не может быть несводимым для $S п -1$ . Вместо этого это может быть прямая сумма нескольких представлений, неприводимых для $S п -1$ . Эти представления называются факторами ограниченное представительство (смотрите также индуцированное представление ).

Вопрос об определении этого разложения ограниченного представления данного неприводимого представления S_п, соответствующий разделу $λ$ из $п$ , ответят следующим образом. Один формирует набор всех диаграмм Юнга, которые могут быть получены из диаграммы формы $λ$ удалив только один прямоугольник (который должен быть в конце как его строки, так и его столбца); ограниченное представление затем распадается как прямая сумма неприводимых представлений $S п -1$ соответствующие этим диаграммам, каждая из которых встречается в сумме ровно один раз.

Смотрите также

Заметки

^ Кнут, Дональд Э. (1973), Искусство программирования, Vol. III: Сортировка и поиск (2-е изд.), Addison-Wesley, p. 48, Такие аранжировки были введены Альфредом Янгом в 1900 году..
^ Янг, А. (1900), «О количественном замещающем анализе», Труды Лондонского математического общества, Сер. 1, 33 (1): 97–145, Дои:10.1112 / плмс / с1-33.1.97. См., В частности, стр. 133.
^ Например, косая диаграмма, состоящая из одного квадрата в позиции (2,4), может быть получена путем удаления диаграммы $μ = (5,3,2,1)$ из одного из $λ = (5,4,2,1)$ , но также (бесконечно) многими другими способами. В общем случае любая перекосная диаграмма, набор непустых строк (или непустых столбцов) которой не является смежным или не содержит первую строку (соответственно столбец), будет связана с более чем одной перекосной формой.
^ В чем-то похожая ситуация возникает для матриц: матрица 3 на 0 $А$ следует отличать от матрицы 0 на 3 $B$ , поскольку $AB$ матрица 3 на 3 (нулевая), а $BA$ является матрицей 0 на 0, но оба $А$ и $B$ иметь такой же (пустой) набор записей; однако для косых таблиц такое различие необходимо даже в тех случаях, когда набор записей не пуст.
^ Предраг Цвитанович (2008). Теория групп: следы птиц, ложь и исключительные группы. Издательство Принстонского университета., ур. 9.28 и приложение B.4

использованная литература

Уильям Фултон. Таблицы Юнга с приложениями к теории представлений и геометрии. Издательство Кембриджского университета, 1997 г., ISBN 0-521-56724-6.
Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Г-Н 1153249. OCLC 246650103. Лекция 4
Ховард Джорджи, Алгебры Ли в физике элементарных частиц, 2-е издание - Westview
Макдональд, И.Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 с. ISBN 0-19-853530-9 Г-Н553598
Лоран Манивель. Симметричные функции, многочлены Шуберта и локусы вырождения. Американское математическое общество.
Жан-Кристоф Новелли, Игорь Пак Стояновский Александр Васильевич "Прямое биективное доказательство формулы длины Крюка ", Дискретная математика и теоретическая информатика 1 (1997), стр. 53–67.
Брюс Э. Саган. Симметричная группа. Springer, 2001 г., ISBN 0-387-95067-2
Винберг, Э. (2001) [1994], "Молодая картина", Энциклопедия математики, EMS Press
Йонг, Александр (февраль 2007 г.). "Что такое ... молодая картина?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 54 (2): 240–241. Получено 2008-01-16.
Предраг Цвитанович, Теория групп: следы птиц, ложь и исключительные группы. Издательство Принстонского университета, 2008.

внешние ссылки

Эрик В. Вайсштейн. "Диаграмма Феррерса ". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
Эрик В. Вайсштейн. "Young Tableau. »Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
Полустандартные картины запись в FindStat база данных
Стандартные картины запись в FindStat база данных

[1] Кнут, Дональд Э. (1973), Искусство программирования, Vol. III: Сортировка и поиск (2-е изд.), Addison-Wesley, p. 48, Такие аранжировки были введены Альфредом Янгом в 1900 году..

[2] Янг, А. (1900), «О количественном замещающем анализе», Труды Лондонского математического общества, Сер. 1, 33 (1): 97–145, Дои:10.1112 / плмс / с1-33.1.97. См., В частности, стр. 133.

[3] Например, косая диаграмма, состоящая из одного квадрата в позиции (2,4), может быть получена путем удаления диаграммы $μ = (5,3,2,1)$ из одного из $λ = (5,4,2,1)$ , но также (бесконечно) многими другими способами. В общем случае любая перекосная диаграмма, набор непустых строк (или непустых столбцов) которой не является смежным или не содержит первую строку (соответственно столбец), будет связана с более чем одной перекосной формой.

[4] В чем-то похожая ситуация возникает для матриц: матрица 3 на 0 $А$ следует отличать от матрицы 0 на 3 $B$ , поскольку $AB$ матрица 3 на 3 (нулевая), а $BA$ является матрицей 0 на 0, но оба $А$ и $B$ иметь такой же (пустой) набор записей; однако для косых таблиц такое различие необходимо даже в тех случаях, когда набор записей не пуст.

[5] Предраг Цвитанович (2008). Теория групп: следы птиц, ложь и исключительные группы. Издательство Принстонского университета., ур. 9.28 и приложение B.4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]