Полином Шуберта - Schubert polynomial

В математике Полиномы Шуберта являются обобщениями Полиномы Шура представляющие классы когомологий Циклы Шуберта в разновидности флага. Их представил Ласку и Шютценбергер (1982) и названы в честь Герман Шуберт.

Фон

Ласку (1995) описал историю полиномов Шуберта.

Полиномы Шуберта ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w}}$ - многочлены от переменных ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots}$ в зависимости от элемента ${ displaystyle w}$ бесконечной симметрической группы ${ displaystyle S _ { infty}}$ всех перестановок ${ Displaystyle mathbb {N}}$ фиксация всех элементов, кроме конечного. Они составляют основу кольца многочленов ${ Displaystyle mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, ldots]}$ в бесконечном множестве переменных.

Когомологии многообразия флагов ${ displaystyle { text {Fl}} (м)}$ является ${ Displaystyle mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}] / I,}$ куда ${ displaystyle I}$ идеал, порожденный однородными симметрическими функциями положительной степени. Полином Шуберта ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w}}$ - единственный однородный многочлен степени ${ Displaystyle ell (ш)}$ представляющий цикл Шуберта ${ displaystyle w}$ в когомологиях многообразие флагов ${ displaystyle { text {Fl}} (м)}$ для всех достаточно больших ${ displaystyle m.}$ ^{[нужна цитата ]}

Характеристики

Если ${ displaystyle w_ {0}}$ это перестановка наибольшей длины в ${ displaystyle S_ {n}}$ тогда ${ Displaystyle { mathfrak {S}} _ {w_ {0}} = x_ {1} ^ {n-1} x_ {2} ^ {n-2} cdots x_ {n-1} ^ {1} }$

${ displaystyle partial _ {я} { mathfrak {S}} _ {w} = { mathfrak {S}} _ {ws_ {i}}}$ если ${ Displaystyle ш (я)> вес (я + 1)}$ , куда ${ displaystyle s_ {i}}$ это транспозиция ${ Displaystyle (я, я + 1)}$ и где ${ displaystyle partial _ {я}}$ оператор разделенной разности принимает ${ displaystyle P}$ к ${ displaystyle (P-s_ {i} P) / (x_ {i} -x_ {i + 1})}$ .

Многочлены Шуберта могут быть вычислены рекурсивно из этих двух свойств. В частности, это означает, что ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} = partial _ {w ^ {- 1} w_ {0}} x_ {1} ^ {n-1} x_ {2} ^ {n-2} cdots x_ {n-1} ^ {1}}$ .

Другие свойства

${ Displaystyle { mathfrak {S}} _ {id} = 1}$

Если ${ displaystyle s_ {i}}$ это транспозиция ${ Displaystyle (я, я + 1)}$ , тогда ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {s_ {i}} = x_ {1} + cdots + x_ {i}}$ .

Если ${ Displaystyle вес (я) <вес (я + 1)}$ для всех ${ displaystyle i neq r}$ , тогда ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w}}$ - многочлен Шура ${ displaystyle s _ { lambda} (x_ {1}, ldots, x_ {r})}$ куда ${ displaystyle lambda}$ это раздел ${ Displaystyle (вес (г) -r, ldots, вес (2) -2, вес (1) -1)}$ . В частности, все многочлены Шура (от конечного числа переменных) являются многочленами Шуберта.

Многочлены Шуберта имеют положительные коэффициенты. Гипотетическое правило для их коэффициентов было предложено Ричард П. Стэнли, и доказано в двух статьях, в одной Сергей Фомин и Стэнли и один Сара Билли, Уильям Джокуш и Стэнли.

Многочлены Шуберта можно рассматривать как производящую функцию над некоторыми комбинаторными объектами, называемыми несбыточные мечты или же rc-графики. Они находятся в противоречии с уменьшенные лица Когана, (введено в кандидатскую диссертацию Михаила Когана), которые являются частными гранями многогранника Гельфанда-Цетлина.

В качестве примера

{ displaystyle { mathfrak {S}} _ {24531} (x) = x_ {1} x_ {3} ^ {2} x_ {4} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2 } x_ {3} x_ {4} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} ^ {2} x_ {4} x_ {2}.}

Константы мультипликативной структуры

Поскольку полиномы Шуберта образуют базис, существуют единственные коэффициенты ${ displaystyle c _ { beta gamma} ^ { alpha}}$ такой, что

{ Displaystyle { mathfrak {S}} _ { beta} { mathfrak {S}} _ { gamma} = sum _ { alpha} c _ { beta gamma} ^ { alpha} { mathfrak {S}} _ { alpha}.}

Их можно рассматривать как обобщение коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона, описываемых уравнением Правило Литтлвуда – Ричардсона.По репрезентативно-теоретическим причинам.^{[нужна цитата ]}, эти коэффициенты являются неотрицательными целыми числами, и это нерешенная проблема в теория представлений и комбинаторика чтобы дать комбинаторное правило для этих чисел.

Двойные многочлены Шуберта

Двойные многочлены Шуберта ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, y_ {1}, y_ {2}, ldots)}$ являются полиномами от двух бесконечных наборов переменных, параметризованных элементом ш бесконечной симметрической группы, которая становится обычными многочленами Шуберта, когда все переменные ${ displaystyle y_ {i}}$ находятся ${ displaystyle 0}$ .

Двойной многочлен Шуберта ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, y_ {1}, y_ {2}, ldots)}$ характеризуются свойствами

${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, y_ {1}, y_ {2}, ldots) = prod limits _ {я + j leq n} (x_ {i} -y_ {j})}$ когда ${ displaystyle w}$ это перестановка на ${ displaystyle 1, ldots, n}$ самой длинной длины.

${ displaystyle partial _ {я} { mathfrak {S}} _ {w} = { mathfrak {S}} _ {ws_ {i}}}$ если ${ Displaystyle ш (я)> вес (я + 1)}$ .

Двойные многочлены Шуберта также можно определить как

{ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x, y) = sum _ {w = v ^ {- 1} u { text {and}} ell (w) = ell (u ) + ell (v)} { mathfrak {S}} _ {u} (x) { mathfrak {S}} _ {v} (- y)}

.

Квантовые полиномы Шуберта

Фомин, Гельфанд и Постников (1997) ввел квантовые полиномы Шуберта, которые имеют такое же отношение к (малые) квантовые когомологии многообразий флагов, которые обычные многочлены Шуберта принадлежат обычным когомологиям.

Универсальные полиномы Шуберта

Фултон (1999) ввел универсальные полиномы Шуберта, обобщающие классические и квантовые полиномы Шуберта. Он также описал универсальные двойные многочлены Шуберта, обобщающие двойные многочлены Шуберта.

Смотрите также

Симметричная функция Стэнли
Полином Костанта
Формула монаха дает произведение линейного многочлена Шуберта и многочлена Шуберта.
алгебра ниль-Кокстера