Плетизм - Plethysm

В алгебре плетизм это операция на симметричные функции представлен Дадли Э. Литтлвуд,^[1] кто обозначил это {λ} ⊗ {μ}. Слово «плетизм» для этой операции (после греческого слова πληθυσμός, означающего «умножение») было введено позже Литтлвудом (1950, п. 289, г. 1950b, с.274), который сказал, что название было предложено М. Л. Кларком.

Если симметричные функции отождествляются с операциями в лямбда-кольца, то плетизм соответствует составу операций.

В теории представлений

Позволять V быть векторное пространство над сложные числа, рассматриваемый как представление из общая линейная группа GL (V). Каждый Диаграмма Юнга λ соответствует Функтор Шура L_λ(-) на категории GL (V) -представительства. Для двух диаграмм Юнга λ и μ рассмотрим разложение L_λ(L_μ(V)) в прямая сумма из неприводимые представления группы. Посредством теория представлений полной линейной группы мы знаем, что каждое слагаемое изоморфно ${\displaystyle L_{\nu }(V)}$ для диаграммы Юнга ${\displaystyle \nu }$. Итак, для некоторых неотрицательных кратностей ${\displaystyle a_{\lambda ,\mu ,\nu }}$ есть изоморфизм

${\displaystyle L_{\lambda }(L_{\mu }(V))=\bigoplus _{\nu }L_{\nu }(V)^{\oplus a_{\lambda ,\mu ,\nu }}.}$

В проблема (внешнего) плетизма найти выражение для кратностей ${\displaystyle a_{\lambda ,\mu ,\nu }}$.^[2]

Эта постановка тесно связана с классическим вопросом. В персонаж ГЛ (V) -представление L_λ(V) - симметричная функция от dim (V) переменные, известные как Полином Шура s_λ соответствующей диаграмме Юнга λ. Многочлены Шура образуют базис в пространстве симметрических функций. Следовательно, чтобы понять плетизм двух симметричных функций, было бы достаточно знать их выражения в этом базисе и выражение для плетизма двух произвольных многочленов Шура {s_λ}⊗{s_μ}. Вторая часть данных - это как раз характер L_λ(L_μ(V)).

Рекомендации

1. Littlewood  (1936, п. 52, 1944, п. 329)
2. Вейман, Ежи (2003). Когомологии векторных расслоений и сизигий. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511546556. ISBN  9780511546556.

• Литтлвуд, Д. Э. (1936), "Полиномиальные сопутствующие факторы и инвариантные матрицы", J. London Math. Soc., 11 (1): 49–55, Дои:10.1112 / jlms / s1-11.1.49, Zbl  0013.14602
• Литтлвуд, Д. Э. (1944), "Теория инвариантов, тензоры и групповые характеры", Философские труды Королевского общества A, 239: 305–365, Дои:10.1098 / рста.1944.0001, JSTOR  91389, МИСТЕР  0010594
• Литтлвуд, Дадли Э. (1950), Теория групповых характеров и матричные представления групп, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-4067-2, МИСТЕР  0002127
• Литтлвуд, Д. Э. (1950b), Университетская алгебра, Мельбурн, Лондон, Торонто: William Heinemann, Ltd., МИСТЕР  0045079