Декартова моноидальная категория - Cartesian monoidal category

В математика, особенно в области, известной как теория категорий, а моноидальная категория где моноидальное («тензорное») произведение - это категориальный продукт называется декартова моноидальная категория. Любой категория с конечными продуктами («категория конечных продуктов») можно рассматривать как декартову моноидальную категорию. В любой декартовой моноидальной категории конечный объект - тензорная единица. Вдвойне, моноидальная категория конечных копроизведений с моноидальной структурой, заданной сопродукт и объединить исходный объект называется кокартова моноидальная категория, и любую категорию конечных копроизведений можно рассматривать как кокартову моноидальную категорию.

Декартовы категории с внутренним Hom функтор это присоединенный функтор к товару называются Декартовы закрытые категории.^[1]

Характеристики

Декартовы моноидальные категории обладают рядом особых и важных свойств, таких как существование диагональные карты Δ_Икс : Икс → Икс ⊗ Икс и дополнения е_Икс : Икс → я для любого объект Икс. В приложениях к Информатика мы можем думать о Δ как о «дублировании данных» и е как «удаление данных». Эти карты превращают любой объект в комоноид. Фактически, любой объект в декартовой моноидальной категории становится комоноидом уникальным образом.

Примеры

Декартовы моноидальные категории:

• Набор, то категория наборов с одноэлементный набор служащий единицей.
• Кот, то бикатегория малых категорий с Категория продукта, где единицей является категория с одним объектом и только его идентификационной картой.

Кокартезианские моноидальные категории:

• Vect, то категория векторных пространств над данным поле, можно сделать кокартово моноидальным с помощью "тензорного произведения", задаваемого прямая сумма векторных пространств и тривиальное векторное пространство как единица.
• Ab, то категория абелевых групп, с прямая сумма абелевых групп как моноидальный продукт и тривиальная группа как единица.
• В более общем плане категория р-Мод из (слева) модули через звенеть р (коммутативный или нет) становится кокартезианской моноидальной категорией с прямая сумма модулей как тензорное произведение и тривиальный модуль как единица.

В каждой из этих категорий модулей, снабженных кокартовой моноидальной структурой, конечные произведения и копроизведения совпадают (в том смысле, что произведение и копроизведение конечного числа объектов изоморфны). Или более формально, если ж : Икс₁ ∐ ... ∐ Икс_п → Икс₁ × ... × Икс_п "каноническая" карта из п-опарное произведение объектов Икс_j к их продукту, за натуральное число п, если карта ж является изоморфизм, мы говорим, что побочный продукт для объектов Икс_j это объект ${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$ изоморфен ${\displaystyle \coprod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$ и ${\displaystyle \prod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$ вместе с картами я_j : Икс_j → Икс и п_j : Икс →  Икс_j такая, что пара (Икс, {я_j}) - диаграмма сопродукции для объектов Икс_j и пара (Икс, {п_j}) представляет собой диаграмму продукта для объектов Икс_j , и где п_j ∘ я_j = id_Иксj. Если, кроме того, рассматриваемая категория имеет нулевой объект, так что для любых объектов А и B есть уникальная карта 0_А,B : А → 0 → B, часто следует, что п_k ∘ я_j = : δ_ij, то Дельта Кронекера, где мы интерпретируем 0 и 1 как карты 0 и карты идентичности объектов Икс_j и Икс_k, соответственно. Видеть категория перед добавкой для большего.

Смотрите также

• Декартова закрытая категория

Рекомендации

1. Декартова моноидальная категория в nLab