Сверхконечное множество - Hyperfinite set

В нестандартный анализ, филиал математика, а гиперконечное множество или же * -конечный набор это тип внутренний набор. Внутренний набор ЧАС внутренней мощности грамм ∈ *N (в сверхъестественное ) гиперконечен если и только если существует внутренний биекция между грамм = {1,2,3,...,грамм} и ЧАС.^[1][2] Сверхконечные множества разделяют свойства конечных множеств: гиперконечное множество имеет минимальные и максимальные элементы, и может быть получено сверхконечное объединение гиперконечного набора гиперконечных множеств. Сумма элементов любого гиперконечного подмножества *р всегда существует, что ведет к возможности четко определенного интеграция.^[2]

Сверхконечные множества можно использовать для аппроксимации других множеств. Если гиперконечное множество аппроксимирует интервал, оно называется близкий интервал относительно этого интервала. Рассмотрим гиперконечное множество ${\displaystyle K={k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}$ со сверхъестественным п. K является ближайшим интервалом для [а,б] если k₁ = а и k_п = б, и если разница между последовательными элементами K является бесконечно малый. Иначе говоря, требуется, чтобы для каждого р ∈ [а,б] Существует k_я ∈ K такой, что k_я ≈ р. Это, например, позволяет приблизиться к единичный круг, рассматриваемый как множество ${\displaystyle e^{i\theta }}$ для θ в интервале [0,2π].^[2]

В общем, подмножества гиперконечных множеств не являются гиперконечными, часто потому, что они не содержат крайних элементов родительского множества.^[3]

Сверхмощная конструкция

Что касается сверхмощный конструкция, гиперреальная линия *р определяется как совокупность классы эквивалентности последовательностей ${\displaystyle \langle u_{n},n=1,2,\ldots \rangle }$ реальных чисел ты_п. А именно, класс эквивалентности определяет гиперреальное, обозначенное ${\displaystyle [u_{n}]}$ в обозначениях Гольдблатта. Аналогично, произвольное гиперконечное множество в *р имеет форму ${\displaystyle [A_{n}]}$, и определяется последовательностью ${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$ конечных множеств ${\displaystyle A_{n}\subseteq \mathbb {R} ,n=1,2,\ldots }$^[4]

Примечания

1. Дж. Э. Рубио (1994). Оптимизация и нестандартный анализ. Марсель Деккер. п. 110. ISBN  0-8247-9281-5.
2. Р. Чуаки (1991). Истина, возможность и вероятность: новые логические основы вероятности и статистического вывода. Эльзевир. стр.182 –3. ISBN  0-444-88840-3.
3. Л. Амбросио; и другие. (2000). Вариационное исчисление и уравнения в частных производных: разделы по проблемам геометрической эволюции и теории степеней. Springer. п.203. ISBN  3-540-64803-8.
4. Роб Голдблатт (1998). Лекции о гиперреалах. Введение в нестандартный анализ. Springer. п.188. ISBN  0-387-98464-X.

внешняя ссылка

• М. Инсолл. «Сверхконечное множество». MathWorld.