Доля единицы - Unit fraction

А единичная дробь это Рациональное число написано как дробная часть где числитель является один и знаменатель положительный целое число. Следовательно, единичная дробь - это взаимный положительного целого числа, 1 /п. Примеры: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т. Д.

Элементарная арифметика

Умножение любые две единичные дроби приводят к продукту, который является другой единичной дробью:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$

Тем не мение, добавление, вычитание, или же разделение две единичные дроби дают результат, который обычно не является единичной дробью:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$

Модульная арифметика

Единичные дроби играют важную роль в модульная арифметика, поскольку они могут использоваться для сведения модульного деления к вычислению наибольших общих делителей. В частности, предположим, что мы хотим выполнить деление на значение Икс, по модулю у. Для разделения на Икс быть хорошо определенным по модулю у, Икс и у должно быть относительно простой. Затем, используя расширенный алгоритм Евклида за наибольшие общие делители мы можем найти а и б такой, что

${\displaystyle \displaystyle ax+by=1,}$

откуда следует, что

${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}},}$

или эквивалентно

${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$

Таким образом, разделить на Икс (по модулю у) нам нужно просто вместо этого умножить на а.

Конечные суммы единичных дробей

Основная статья: Список сумм взаимных значений § Конечное количество членов

Любое положительное рациональное число может быть записано в виде суммы долей единицы несколькими способами. Например,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Древние египетские цивилизации использовали суммы различных долей единиц в своих обозначениях для более общих целей. рациональное число, поэтому такие суммы часто называют Египетские фракции. Сегодня все еще существует интерес к анализу методов, используемых древними для выбора среди возможных представлений дробного числа и вычисления с такими представлениями.^[1] Тема египетских фракций вызвала интерес и у современных людей. теория чисел; например, Гипотеза Эрдеша – Грэма и Гипотеза Эрдеша – Штрауса касаются сумм единичных дробей, как и определение Гармонические числа руды.

В геометрическая теория групп, группы треугольников делятся на евклидовы, сферические и гиперболические случаи в зависимости от того, равна ли ассоциированная сумма единичных дробей единице, больше единицы или меньше единицы соответственно.

Серия единичных дробей

Основная статья: Список сумм взаимных значений § Бесконечно много членов

Многие известные бесконечная серия есть члены, являющиеся дробями единиц. К ним относятся:

• В гармонический ряд, сумма всех положительных единичных дробей. Эта сумма расходится, и ее частичные суммы

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

приблизительно пер  п + γ в качестве п увеличивается.

• В Базельская проблема относится к сумме долей квадратных единиц, которая сходится к π²/6
• Постоянная апери - сумма дробных частей единицы в кубе.
• Двоичный геометрическая серия, что добавляет к 2, а обратная константа Фибоначчи являются дополнительными примерами серии, состоящей из единичных дробей.

Матрицы единичных дробей

В Матрица Гильберта матрица с элементами

${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

Он обладает тем необычным свойством, что все элементы в его обратная матрица целые числа.^[2] По аналогии, Ричардсон (2001) определил матрицу с элементами

${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$

куда F_я обозначает яth Число Фибоначчи. Он называет эту матрицу матрицей Фильберта, и она обладает тем же свойством иметь целое обратное.^[3]

Смежные фракции

Две дроби называются соседний если их разница составляет единицу доли.^[4][5]

Доли единиц в вероятности и статистике

В равномерное распределение на дискретном пространстве, все вероятности равны единичным дробям. Из-за принцип безразличия, вероятности такой формы часто возникают в статистических расчетах.^[6] Кроме того, Закон Ципфа утверждает, что для многих наблюдаемых явлений, связанных с выбором элементов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что пВыбранный элемент пропорционален единице дроби 1 /п.^[7]

Доли единиц в физике

Уровни энергии фотоны которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно Формула Ридберга, пропорционально разнице двух долей единицы. Объяснение этому явлению дает Модель Бора, согласно которому уровни энергии электронные орбитали в атом водорода обратно пропорциональны квадратным единичным долям, а энергия фотона равна квантованный к разнице между двумя уровнями.^[8]

Артур Эддингтон утверждал, что постоянная тонкой структуры была единичной дробью, сначала 1/136, затем 1/137. Это утверждение было опровергнуто, поскольку текущие оценки постоянной тонкой структуры составляют (до 6 значащих цифр) 1 / 137,036.^[9]

Смотрите также

• Частный

Рекомендации

1. Гай, Ричард К. (2004), "D11. Египетские фракции", Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, стр. 252–262, ISBN  978-0-387-20860-2.
2. Чой, Ман Дуэн (1983), "Уловки или угощения с помощью матрицы Гильберта", Американский математический ежемесячник, 90 (5): 301–312, Дои:10.2307/2975779, МИСТЕР  0701570.
3. Ричардсон, Томас М. (2001), «Матрица Фильберта» (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 39 (3): 268–275, arXiv:math.RA / 9905079, Bibcode:1999математика ...... 5079R
4. Смежная фракция в PlanetMath.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Смежная фракция». MathWorld.
6. Валлийский, Алан Х. (1996), Аспекты статистического вывода, Серия Уайли по вероятности и статистике, 246, Джон Уайли и сыновья, стр. 66, ISBN  978-0-471-11591-5.
7. Сайчев Александр; Малевернь, Янник; Сорнетт, Дидье (2009), Теория закона Ципфа и не только, Конспект лекций по экономике и математическим системам, 632, Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-02945-5.
8. Ян, Фуцзя; Гамильтон, Джозеф Х. (2009), Современная атомная и ядерная физика, World Scientific, стр. 81–86, ISBN  978-981-283-678-6.
9. Килмистер, Клайв Уильям (1994), Эддингтон в поисках фундаментальной теории: ключ ко Вселенной, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-37165-0.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Дробь единицы». MathWorld.