Несводимая фракция - Irreducible fraction

An несократимая дробь (или же дробь в наименьшем выражении, самая простая форма или же уменьшенная фракция) это дробная часть в которой числитель и знаменатель находятся целые числа у которых нет другого общего делители чем 1 (и -1, когда рассматриваются отрицательные числа).^[1] Другими словами, дробь ^а⁄_б неприводимо тогда и только тогда, когда а и б находятся совмещать, то есть если а и б есть наибольший общий делитель из 1. В высшем математика, "несократимая дробь"может также относиться к рациональные дроби такие, что числитель и знаменатель взаимно просты многочлены.^[2] Каждый положительный Рациональное число может быть представлена ​​в виде неразложимой дроби ровно одним способом.^[3]

Иногда бывает полезно эквивалентное определение: если а, б - целые числа, то дробь ^а⁄_б неприводима тогда и только тогда, когда нет другой равной дроби ^c⁄_d такой, что |c| < |а| или |d| < |б|, где |а| означает абсолютная величина из а.^[4] (Две дроби ^а⁄_б и ^c⁄_d находятся равный или же эквивалент если и только если объявление = до н.э.)

Например, ¹⁄₄, ⁵⁄₆, и ⁻¹⁰¹⁄₁₀₀ все неприводимые дроби. С другой стороны, ²⁄₄ приводимо, так как по величине он равен ¹⁄₂, а числитель ¹⁄₂ меньше числителя ²⁄₄.

Сокращаемую дробь можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на общий множитель. Его можно полностью сократить до самых низких значений, если оба разделить на их наибольший общий делитель.^[5] Чтобы найти наибольший общий делитель, Евклидов алгоритм или же простые множители может быть использован. Обычно предпочтение отдается алгоритму Евклида, поскольку он позволяет сокращать дроби со слишком большими числителями и знаменателями, чтобы их можно было легко разложить на множители.^[6]

Примеры

${displaystyle {frac {120}{90}}={frac {12}{9}}={frac {4}{3}},.}$

На первом этапе оба числа были разделены на 10, что является общим множителем для 120 и 90. На втором этапе они были разделены на 3. Окончательный результат, ⁴/₃, является несократимой дробью, потому что у 4 и 3 нет общих делителей, кроме 1.

Исходная дробь также могла быть уменьшена за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30 (то есть, НОД (90,120) = 30). В качестве 120 / 30 = 4, и 90 / 30 = 3, получается

${displaystyle {frac {120}{90}}={frac {4}{3}}.}$

Какой метод быстрее "вручную" зависит от дроби и легкости, с которой обнаруживаются общие факторы. В случае, если знаменатель и числитель остаются слишком большими, чтобы убедиться, что они взаимно просты при проверке, в любом случае необходимо вычисление наибольшего общего делителя, чтобы гарантировать, что дробь действительно несократима.

Уникальность

Каждое рациональное число имеет уникальный представление в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем^[3] (тем не мение ${displaystyle { frac {2}{3}}={ frac {-2}{-3}}}$ хотя оба неприводимы). Уникальность - следствие уникальное разложение на простые множители целых чисел, поскольку ${displaystyle { frac {a}{b}}={ frac {c}{d}}}$ подразумевает объявление = до н.э и поэтому обе стороны последнего должны иметь одну и ту же простую факторизацию, но ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ не делят простых множителей, поэтому набор простых множителей ${displaystyle a}$ (с кратностью) является подмножеством ${displaystyle c}$ и наоборот значение ${displaystyle a=c}$ и ${displaystyle b=d}$.

Приложения

Тот факт, что любое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби, используется в различных доказательства иррациональности квадратного корня из 2 и других иррациональных чисел. Например, одно доказательство отмечает, что если бы квадратный корень из 2 мог быть представлен как отношение целых чисел, то он, в частности, имел бы полностью сокращенное представление ${displaystyle { frac {a}{b}}}$ куда а и б являются минимально возможными; но учитывая это ${displaystyle { frac {a}{b}}}$ равно квадратному корню из 2, то же самое ${displaystyle { frac {2b-a}{a-b}}}$ (поскольку при перекрестном умножении на ${displaystyle { frac {a}{b}}}$ показывает, что они равны). Поскольку последнее представляет собой отношение меньших целых чисел, это противоречие, поэтому предположение, что квадратный корень из двух представлен как отношение двух целых чисел, неверно.

Обобщение

Понятие неприводимой дроби обобщается на поле дробей любой уникальная область факторизации: любой элемент такого поля можно записать в виде дроби, в которой знаменатель и числитель взаимно просты, путем деления обоих на их наибольший общий делитель.^[7] В особенности это относится к рациональные выражения над полем. Неприводимая дробь для данного элемента уникальна с точностью до умножения знаменателя и числителя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число имеет две неприводимые дроби, связанные изменением знака числителя и знаменателя; эту двусмысленность можно устранить, потребовав, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций знаменатель может аналогичным образом быть монический многочлен.^[8]

Смотрите также

• Аномальная отмена, ошибочная арифметическая процедура, которая дает правильную несократимую дробь путем удаления цифр исходной нередуцированной формы
• Диофантово приближение, приближение действительных чисел рациональными числами.

Рекомендации

1. Степанов, С. А. (2001) [1994], "Дробная часть", Энциклопедия математики, EMS Press
2. Например, см. Лаудаль, Олав Арнфинн; Пиене, Рагни (2004), Наследие Нильса Хенрика Абеля: двухсотлетие Абеля, Осло, 3-8 июня 2002 г., Springer, стр. 155
3. Скотт, Уильям (1844), Элементы арифметики и алгебры: для использования Королевским военным колледжем, Учебники для колледжей, Sandhurst. Королевский военный колледж, 1, Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс, стр. 75.
4. Скотт (1844), п. 74.
5. Салли, Джудит Д .; Салли, Пол Дж., Мл. (2012), «9.1. Сокращение дроби до наименьших значений», Целые числа, дроби и арифметика: руководство для учителей, Библиотека математических кружков ИИГС, 10, Американское математическое общество, стр. 131–134, ISBN  9780821887981.
6. Cuoco, Al; Ротман, Джозеф (2013), Изучение современной алгебры, Учебники математической ассоциации Америки, Математическая ассоциация Америки, п. 33, ISBN  9781939512017.
7. Гаррет, Пол Б. (2007), Абстрактная алгебра, CRC Press, стр. 183, г. ISBN  9781584886907.
8. Грилье, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 242, Спрингер, лемма 9.2, с. 183, г. ISBN  9780387715681.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Пониженная фракция». MathWorld.