Приведение (математика) - Reduction (mathematics)

Для использования в других целях см. Сокращение (значения).

В математика, сокращение относится к переписывание из выражение в более простую форму. Например, процесс переписывания дробная часть в один с наименьшим возможным целочисленным знаменателем (при сохранении числителя целым числом) называется "уменьшение дроби". Переписывая радикальный Выражение (или «корень») с наименьшим возможным целым числом под радикальным символом называется «сокращающим радикалом». Минимизация количества радикалов, которые появляются под другими радикалами в выражении, называется радикальные радикалы.

Алгебра

В линейная алгебра, сокращение относится к применению простых правил к серии уравнения или матрицы чтобы преобразовать их в более простую форму. В случае матриц процесс включает в себя манипулирование строками или столбцами матрицы и поэтому обычно называется сокращение ряда или сокращение столбцасоответственно. Часто целью редукции является преобразование матрицы в ее "сокращенную по строкам" форма эшелона "или" форма рядного эшелона "; это цель Гауссово исключение.

Исчисление

В исчисление, сокращение относится к использованию техники интеграция по частям оценить целый класс интегралы сводя их к более простым формам.

Статическое (гуйянское) уменьшение

В динамическом анализе статическое восстановление относится к уменьшению количества степеней свободы. Статическое сокращение также может использоваться в FEA анализ для обозначения упрощения линейной алгебраической задачи. Поскольку статическая редукция требует нескольких шагов инверсии, это дорогостоящая матричная операция, которая может привести к некоторым ошибкам в решении. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений в задаче МКЭ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

где K и F известны и K, Икс и F делятся на подматрицы, как показано выше. Если F₂ содержит только нули и только Икс₁ желательно, K сводится к следующей системе уравнений

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,reduced}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

K_{11, уменьшенный} получается записью системы уравнений следующим образом:

${\displaystyle K_{11}x_{1}+K_{12}x_{2}=F_{1}}$

(Уравнение 1)

${\displaystyle K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}=0}$

(Уравнение 2)

Уравнение (2) можно решить за ${\displaystyle x_{2}}$ (в предположении обратимости ${\displaystyle K_{22}}$):

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

И подставив в (1) дает

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

Таким образом

${\displaystyle K_{11,reduced}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$

Аналогичным образом любая строка / столбец я из F с нулевым значением может быть исключено, если соответствующее значение Икс_я не желательно. Сокращенный K может быть снова уменьшен. В качестве примечания, поскольку каждое сокращение требует инверсии, и каждая инверсия представляет собой операцию с вычислительными затратами. ${\displaystyle O(n^{3})}$ большинство больших матриц предварительно обрабатываются, чтобы сократить время вычисления.

История

Персидский математик Аль-Хорезми с Аль-Джабр в 9 веке ввел фундаментальные понятия «редукция» и «уравновешивание», относящиеся к переносу вычитаемых членов на другую сторону уравнения и отмене одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую Аль-Хорезми первоначально описал как Аль-Джабр.^[1] Название "алгебра "исходит из"Аль-Джабр"в названии его книги.

Рекомендации

1. Бойер, Карл Б. (1991), «Арабская гегемония», История математики (Второе изд.), John Wiley & Sons, Inc., стр.229, ISBN  978-0-471-54397-8, Неясно, каковы условия Аль-Джабр и мукабала означают, но обычная интерпретация аналогична той, что подразумевается в переводе выше. Слово Аль-Джабр предположительно означал что-то вроде «восстановление» или «завершение» и, кажется, относился к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, что очевидно в трактате; слово мукабала Говорят, что это относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть к устранению одинаковых членов в противоположных частях уравнения.