Срок ведения - Leading-order term

В условия ведущего порядка (или же исправления) в пределах математический уравнение, выражение или же модель являются термины с самым большим порядок величины.[1][2] Размеры различных членов в уравнении (ах) будут меняться по мере того, как переменные изменится, и, следовательно, какие термины являются ведущими, также могут измениться.

Распространенный и эффективный способ упрощения и понимания большого количества сложных математических моделей - исследовать, какие члены являются наибольшими (и, следовательно, наиболее важными) для конкретных размеров переменных и параметров, и анализировать поведение, производимое только этими терминами ( считая другие более мелкие условия незначительными).[3][4] Это дает основное поведение - истинное поведение находится лишь в небольших отклонениях от него. Это основное поведение может быть достаточно хорошо отражено только терминами строго ведущего порядка, или может быть решено, что также следует включить несколько меньшие члены. В этом случае фраза условия ведущего порядка может использоваться неформально для обозначения всей этой группы терминов. Поведение, производимое только группой основных терминов, называется поведение ведущего порядка модели.

Базовый пример

Размеры отдельных терминов в у = Икс3 + 5Икс + 0.1.Основные термины выделены розовым цветом.
Икс0.0010.10.5210
Икс30.0000000010.0010.12581000
5Икс0.0050.52.51050
0.10.10.10.10.10.1
у0.1050000010.6012.72518.11050.1

Рассмотрим уравнение у = Икс3 + 5Икс + 0,1. Для пяти различных значений Иксв таблице показаны размеры четырех членов в этом уравнении, а также какие члены являются ведущими. В качестве Икс увеличивается дальше, условия ведущего порядка остаются как Икс3 и у, но, как Икс уменьшается, а затем становится все более и более отрицательным, и какие члены снова меняются в ведущем порядке.

Не существует строгого ограничения, когда два срока должны или не должны рассматриваться как примерно того же порядка или величины. Один возможный практическое правило состоит в том, что два члена, которые находятся в пределах 10 раз (один порядок) друг от друга, должны рассматриваться как примерно одного порядка, а два члена, которые не находятся в пределах 100 раз (два порядка) друг от друга не следует. Однако между ними находится серая область, поэтому не существует фиксированных границ, где термины должны рассматриваться как приблизительно ведущие, а где нет. Вместо этого термины постепенно появляются и исчезают по мере изменения переменных. Решение о том, являются ли термины в модели ведущими (или приблизительно ведущими), а если нет, достаточно ли они малы, чтобы их можно было рассматривать как незначительные (два разных вопроса), часто является вопросом исследования и суждения, и будет зависят от контекста.

Ведущее поведение

Возможны уравнения только с одним старшим членом, но редко[сомнительный – обсуждать]. Например, уравнение 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (где правая часть состоит из ста единиц). Для любой конкретной комбинации значений переменных и параметров уравнение обычно будет содержать по крайней мере два члена первого порядка, а другие младший термины. В этом случае, если предположить, что члены более низкого порядка и части членов высшего порядка, которые имеют тот же размер, что и члены более низкого порядка (возможно, второй или третий значимая фигура и далее) пренебрежимо малы, новое уравнение можно сформировать, отбросив все эти члены более низкого порядка и части членов старшего порядка. Остальные условия обеспечивают уравнение главного порядка, или же сальдо лидирующих заказов,[5] или же доминирующий баланс,[6][7][8] и создание нового уравнения, включающего только эти термины, известно как перевод уравнения в ведущий порядок. Решения этого нового уравнения называются ведущие решения[9][10] к исходному уравнению. Анализ поведения, задаваемого этим новым уравнением, дает поведение ведущего порядка[11][12] модели для этих значений переменных и параметров. Размер ошибки при получении этого приближения обычно примерно равен размеру наибольшего игнорируемого члена.

График у = Икс3 + 5Икс + 0,1. Ведущий порядок или основное поведение в Икс = 0,001 - это то, что у постоянно, а при Икс = 10 это то, что у кубически увеличивается с Икс.

Предположим, мы хотим понять поведение ведущего порядка в приведенном выше примере.

  • Когда Икс = 0,001, Икс3 и 5Икс члены могут считаться незначительными и опускаться вместе с любыми значениями в третьем десятичном знаке и далее в двух оставшихся членах. Это дает баланс ведущего порядка у = 0,1. Таким образом, поведение этого уравнения в главном порядке при х = 0,001 в том, что у постоянно.
  • Аналогично, когда Икс = 10, 5Икс и 0,1 члены могут рассматриваться как незначительные и опускаться вместе с любыми значениями в третьей значащей цифре и далее в двух оставшихся членах. Это дает баланс ведущего порядка у = Икс3. Таким образом, поведение этого уравнения в главном порядке при х = 10 в том, что у кубически увеличивается с Икс.

Основное поведение у таким образом могут быть исследованы при любом значении Икс. Поведение в ведущем порядке усложняется, когда в ведущем порядке больше терминов. В х = 2 существует баланс первого порядка между кубической и линейной зависимостями у на Икс.

Обратите внимание, что это описание поиска балансов и поведения ведущего порядка дает только общее описание процесса - оно не является математически строгим.

Следующий за лидером заказ

Конечно, у не является фактически полностью постоянный на Икс = 0,001 - это только его основное поведение в окрестности этой точки. Может случиться так, что сохранения только членов первого порядка (или приблизительно ведущего порядка) и рассмотрения всех других более мелких членов как незначительных недостаточно (например, при использовании модели для будущего прогнозирования), и поэтому может потребоваться также сохранить набор следующих по величине условий. Их можно назвать следующий за лидером заказ (NLO) условия или исправления.[13][14] Следующий набор терминов после этого можно назвать следующий за ведущим порядком (NNLO) условия или исправления.[15]

использование

Согласованные асимптотические разложения

Методы упрощения ведущего порядка используются в сочетании с метод согласованных асимптотических разложений, когда точное приближенное решение в каждой подобласти является решением ведущего порядка.[3][16][17]

Упрощение уравнений Навье – Стокса.

Для конкретных сценариев потока жидкости (очень общий) Уравнения Навье – Стокса можно значительно упростить, рассматривая только компоненты старшего порядка. Например, Стокса поток уравнения.[18] Кроме того, уравнения тонкой пленки теория смазки.

Смотрите также

  • Оценка, алгебраическое обобщение "ведущего порядка"

Рекомендации

  1. ^ Дж. К. Хантер, Асимптотический анализ и теория сингулярных возмущений., 2004. http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf
  2. ^ Примечания к курсу NYU
  3. ^ а б Mitchell, M. J .; и другие. (2010). «Модель растворения углекислого газа и кинетики карбонизации минералов». Труды Королевского общества А. 466 (2117): 1265–1290. Bibcode:2010RSPSA.466.1265M. Дои:10.1098 / rspa.2009.0349.
  4. ^ Woollard, H.F .; и другие. (2008). «Многомасштабная модель переноса растворенных веществ в канале с волнистыми стенками» (PDF). Журнал инженерной математики. 64 (1): 25–48. Bibcode:2009JEnMa..64 ... 25 Вт. Дои:10.1007 / s10665-008-9239-х.
  5. ^ Sternberg, P .; Бернофф, А. Дж. (1998). «Возникновение сверхпроводимости в убывающих полях для общих областей». Журнал математической физики. 39 (3): 1272–1284. Bibcode:1998JMP .... 39.1272B. Дои:10.1063/1.532379.
  6. ^ Salamon, T.R .; и другие. (1995). «Роль поверхностного натяжения в доминирующем балансе в сингулярности выступа штампа». Физика жидкостей. 7 (10): 2328–2344. Bibcode:1995ФФл .... 7.2328С. Дои:10.1063/1.868746. Архивировано из оригинал на 2013-07-08.
  7. ^ Горшков, А. В .; и другие. (2008). «Когерентный квантово-оптический контроль с субволновым разрешением». Письма с физическими проверками. 100 (9): 93005. arXiv:0706.3879. Bibcode:2008PhRvL.100i3005G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.100.093005. PMID  18352706.
  8. ^ Lindenberg, K .; и другие. (1994). "Ограниченные диффузией двоичные реакции: иерархия неклассических режимов для коррелированных начальных условий" (PDF). Журнал физической химии. 98 (13): 3389–3397. Дои:10.1021 / j100064a020.
  9. ^ Enczykowski, P. (1988). "Матрица Кобаяси – Маскавы из решения первого порядка пмодель Фрича поколения ". Физический обзор D. 38 (1): 332–336. Bibcode:1988ПхРвД..38..332З. Дои:10.1103 / PhysRevD.38.332.
  10. ^ Horowitz, G.T .; Цейтлин А.А. (1994). «Экстремальные черные дыры как точные струнные решения». Письма с физическими проверками. 73 (25): 3351–3354. arXiv:hep-th / 9408040. Bibcode:1994ПхРвЛ..73.3351Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.73.3351. PMID  10057359.
  11. ^ Хусейн, А. (1980). «Ведущее поведение амплитуд двухфотонного рассеяния в КХД». Ядерная физика B. 163: 453–460. Bibcode:1980НуФБ.163..453А. Дои:10.1016/0550-3213(80)90411-3.
  12. ^ Крученский, М .; Oxman, L.E .; Залдарриага, М. (1999). «Большое сжатие при генерации космологической энтропии». Классическая и квантовая гравитация. 11 (9): 2317–2329. arXiv:gr-qc / 9403024. Bibcode:1994CQGra..11.2317K. Дои:10.1088/0264-9381/11/9/013.
  13. ^ Кэмпбелл, Дж .; Эллис, Р. (2002). «Поправки следующего за лидером порядка к образованию струй W + 2 и Z + 2 на адронных коллайдерах». Физический обзор D. 65 (11): 113007. arXiv:hep-ph / 0202176. Bibcode:2002ПхРвД..65к3007С. Дои:10.1103 / PhysRevD.65.113007.
  14. ^ Catani, S .; Сеймур, М. (1996). «Дипольный формализм для расчета поперечных сечений струй КХД в ближайшем порядке». Письма по физике B. 378 (1): 287–301. arXiv:hep-ph / 9602277. Bibcode:1996ФЛБ..378..287С. Дои:10.1016 / 0370-2693 (96) 00425-Х.
  15. ^ Kidonakis, N .; Фогт, Р. (2003). «Поправки мягких глюонов следующего за лидером порядка в адрождении топ-кварка». Физический обзор D. 68 (11): 114014. arXiv:hep-ph / 0308222. Bibcode:2003ПхРвД..68к4014К. Дои:10.1103 / PhysRevD.68.114014.
  16. ^ Рубинштейн, Б.Ю .; Письмен Л.М. (1994). «Вихревое движение в пространственно-неоднородной консервативной модели Гинзбурга – Ландау» (PDF). Physica D: нелинейные явления. 78 (1): 1–10. Bibcode:1994 ФИД ... 78 .... 1R. Дои:10.1016/0167-2789(94)00119-7.
  17. ^ Кившар Ю.С. и другие. (1998). «Динамика оптических вихревых солитонов» (PDF). Оптика Коммуникации. 152 (1): 198–206. Bibcode:1998OptCo.152..198K. Дои:10.1016 / S0030-4018 (98) 00149-7. Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-04-21. Получено 2012-10-31.
  18. ^ Заметки Корнельского университета