Тропическое полукольцо - Tropical semiring

В идемпотентный анализ, то тропическое полукольцо это полукольцо из расширенные действительные числа с операциями минимум (или же максимум ) и сложение, заменяющее обычные («классические») операции сложения и умножения соответственно.

Тропическое полукольцо имеет различные приложения (см. тропический анализ ), и составляет основу тропическая геометрия.

Определение

В мин. тропическое полукольцо (или же мин-плюс полукольцо или же мин-плюс алгебра) это полукольцо (ℝ ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗) с операциями:

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Операции ⊕ и ⊗ называются тропическое дополнение и тропическое размножение соответственно. Единицей для является + ∞, а для ⊗ - 0.

Точно так же макс тропическое полукольцо (или же макс-плюс полукольцо или же макс-плюс алгебра) - полукольцо (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) с операциями:

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Единицей измерения ⊕ является −∞, а единицей измерения - 0.

Эти полукольца изоморфны, при отрицании ${\displaystyle x\mapsto -x}$, и обычно один из них выбирается и обозначается просто как тропическое полукольцо. Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют мин соглашение, некоторые используют Максимум соглашение.

Тропическое дополнение идемпотент, таким образом, тропическое полукольцо является примером идемпотентное полукольцо.

Тропическое полукольцо также называют тропическая алгебра,^[1] хотя это не следует путать с ассоциативная алгебра над тропическим полукольцом.

Тропическое возведение в степень определяется обычным образом как повторяющиеся тропические произведения (см. Возведение в степень § В абстрактной алгебре ).

Значимые поля

Основная статья: Значение поля

Операции с тропическим полукольцом моделируют, как оценки вести себя при сложении и умножении в ценное поле. Поле с действительными значениями K поле, снабженное функцией

${\displaystyle v\colon K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

которое удовлетворяет следующим свойствам для всех а, б в K:

${\displaystyle v(a)=\infty }$ если и только если ${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$ с равенством, если ${\displaystyle v(a)\neq v(b).}$

Поэтому оценка v является почти гомоморфизмом полуколец из K к тропическому полукольцу, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе.

Некоторые общие поля значений:

• Q или же C с тривиальной оценкой, v(а) = 0 для всех а ≠ 0,
• Q или его расширения с p-адическая оценка, v(п^па/б) = п за а и б взаимно простой с п,
• Поле формальная серия Laurent K((т)) (целые степени) или поле Серия Puiseux K{{т}}, или поле Серия Hahn, с оценкой, возвращающей наименьший показатель степени т появляясь в сериале.

Рекомендации

1. Литвинов, Григорий Лазаревич; Сергеев, Сергей Николаевич (2009). Тропическая и идемпотентная математика: международный семинар по тропической и идемпотентной математике-07 (PDF). Американское математическое общество. п. 8. ISBN  9780821847824. Получено 15 сентября 2014.

• Литвинов, Г. Л. (2005). «Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: краткое введение». arXiv:математика / 0507014v1.