Комплексное умножение абелевых многообразий - Complex multiplication of abelian varieties

В математика, абелева разновидность А определяется над поле K говорят, что имеет CM-типа если у него достаточно большой коммутативный подкольцо в его кольцо эндоморфизмов Конец(А). Терминология здесь взята из комплексное умножение теория, которая была разработана для эллиптические кривые В девятнадцатом веке. Одно из главных достижений в алгебраическая теория чисел и алгебраическая геометрия ХХ века заключалась в том, чтобы найти правильные формулировки соответствующей теории для абелевых многообразий измерение d > 1. Проблема находится на более глубоком уровне абстракции, потому что манипулировать им намного сложнее. аналитические функции из несколько сложных переменных.

Формальное определение таково:

${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(A)}$

в тензорное произведение конца (А) с Рациональное число поле Q, должно содержать коммутативное подкольцо измерение 2d над Q. Когда d = 1 это может быть только квадратичное поле, и восстанавливаются случаи, когда End (А) является порядок в мнимое квадратичное поле. За d > 1 есть сопоставимые случаи для CM-поля, комплекс квадратичные расширения из полностью реальные поля. Есть и другие случаи, которые отражают это А не может быть простая абелева разновидность (это может быть декартово произведение эллиптических кривых, например). Другое название абелевых многообразий CM-типа - абелевы многообразия с достаточно много сложных умножений.

Известно, что если K - комплексные числа, то любые такие А имеет область определения что на самом деле числовое поле. Возможные типы кольца эндоморфизмов были классифицированы как кольца с инволюция (в Инволюция Росати ), что привело к классификации абелевых многообразий CM-типа. Построить такие разновидности в том же стиле, что и для эллиптических кривых, начиная с решетка Λ в C^d, необходимо учитывать Отношения Римана теории абелевых многообразий.

В CM-типа является описанием действия (максимального) коммутативного подкольца L конца_Q(А) на голоморфной касательное пространство из А на элемент идентичности. Спектральная теория простого вида применяется, чтобы показать, что L действует на основе собственные векторы; другими словами L имеет действие через диагональные матрицы на голоморфных векторных полях на А. В простом случае, когда L сам является числовым полем, а не продуктом некоторого количества полей, тогда CM-тип представляет собой список сложные вложения из L. Есть 2d из тех, что происходят в комплексно сопряженный пары; Тип CM - это выбор одного из каждой пары. Известно, что все такие возможные CM-типы могут быть реализованы.

Основные результаты Горо Шимура и Ютака Танияма вычислить L-функция Хассе – Вейля из А, в терминах CM-типа и L-функции Гекке с Гекке персонаж, имея бесконечность полученный из него. Они обобщают результаты Макс Деуринг для случая эллиптической кривой.

Рекомендации

• Ланг, Серж (1983), Комплексное умножение, Springer Verlag, ISBN  0-387-90786-6