Полиномы Тушара - Touchard polynomials

Для другого семейства многочленов Q_п иногда называемые полиномами Тушара, см. Полиномы Бейтмана.

Не путать с Полиномы Белла.

В Полиномы Тушара, изученный Жак Тушар  (1939 ), также называемый экспоненциальные полиномы или же Полиномы Белла, составляют полиномиальная последовательность из биномиальный тип определяется

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k},}$

куда ${\displaystyle S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}$это Число Стирлинга второго рода, т.е. количество перегородки набора размера п в k непересекающиеся непустые подмножества.^[1][2][3][4]

Характеристики

Основные свойства

Значение в 1 из п-й многочлен Тушара - это пth Номер звонка, т.е. количество перегородки набора размера п:

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}.}$

Если Икс это случайная переменная с распределение Пуассона с математическим ожиданием λ, то его п-й момент E (Икс^п) = Т_п(λ), что приводит к определению:

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}$

Используя этот факт, можно быстро доказать, что это полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип, т.е. удовлетворяет последовательности тождеств:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}$

Многочлены Тушара составляют единственную полиномиальную последовательность биномиального типа с коэффициентом при Икс равно 1 в каждом полиноме.

Многочлены Тушара удовлетворяют формуле типа Родрига:

${\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.}$

Многочлены Тушара удовлетворяют условию отношение повторения

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}$

и

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

В случае Икс = 1, это сводится к рекуррентной формуле для Номера звонков.

С использованием теневое обозначение Т^п(Икс)=Т_п(Икс) эти формулы становятся:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\left(T(\lambda )+T(\mu )\right)^{n},}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

В производящая функция многочленов Тушара

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},}$

что соответствует производящая функция чисел Стирлинга второго рода.

Многочлены Тушара имеют контурный интеграл представление:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.}$

Нули

Все нули полиномов Тушара действительны и отрицательны. Этот факт наблюдал Л. Х. Харпер в 1967 году.^[5]

Наименьший ноль ограничен снизу (по модулю) величиной^[6]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

хотя предполагается, что наименьший нуль линейно растет с индексом п.

В Мера Малера ${\displaystyle M(T_{n})}$полиномов Тушара можно оценить следующим образом:^[7]

${\displaystyle {\frac {\lbrace \textstyle {n \atop \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\},}$

куда ${\displaystyle \Omega _{n}}$ и ${\displaystyle K_{n}}$ самые маленькие из двух k индексы такие, что${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$ и ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$максимальны соответственно.

Обобщения

• Полный Полином Белла ${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ можно рассматривать как многомерное обобщение полинома Тушара ${\displaystyle T_{n}(x)}$, поскольку ${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$
• Многочлены Тушара (и тем самым Номера звонков ) можно обобщить, используя действительную часть указанного выше интеграла, до нецелого порядка:

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.}$

Смотрите также

• Полиномы Белла

Рекомендации

1. Роман, Стивен (1984). Темное исчисление. Дувр. ISBN  0-486-44139-3.
2. Бояджиев, Христо Н. "Экспоненциальные многочлены, числа Стирлинга и вычисление некоторых гамма-интегралов". Аннотация и прикладной анализ. 2009: 1–18. arXiv:0909.0979. Bibcode:2009АбАпА2009 .... 1Б. Дои:10.1155/2009/168672.
3. Брендт, Брюс С. «РАМАНУДЖАН ВЫСТУПАЕТ РУКУ ОТ МОГИЛЫ, ЧТОБЫ ВЫЙТИ ОТ ВАС ТЕОРЕМЫ» (PDF). Получено 23 ноября 2013.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Полином Белла». MathWorld.
5. Харпер, Л. Х. (1967). «Поведение Стирлинга асимптотически нормальное». Анналы математической статистики. 38 (2): 410–414. Дои:10.1214 / aoms / 1177698956.
6. Мезу, Иштван; Корчино, Роберто Б. (2015). «Оценка нулей полиномов Белла и г-Белла». Прикладная математика и вычисления. 250: 727–732. Дои:10.1016 / j.amc.2014.10.058.
7. Иштван, Мезо. «О мере Малера полиномов Белла». Получено 7 ноября 2017.

• Тушар, Жак (1939), "Sur les циклы подстановок", Acta Mathematica, 70 (1): 243–297, Дои:10.1007 / BF02547349, ISSN  0001-5962, МИСТЕР  1555449