Распределение Пуассона с нулевым усечением - Zero-truncated Poisson distribution

В теория вероятности, то распределение Пуассона с нулевым усечением (ZTP) это определенный дискретное распределение вероятностей чья поддержка - множество положительных целых чисел. Это распределение также известно как условное распределение Пуассона^[1] или положительное распределение Пуассона.^[2] Это условное распределение вероятностей Распределенный по Пуассону случайная переменная при условии, что значение случайной величины не равно нулю. Таким образом, случайная величина ZTP не может быть равна нулю. Рассмотрим, например, случайную переменную количества товаров в корзине покупателя на кассе супермаркета. Предположительно, покупатель не стоит в очереди, и ему нечего покупать (т. Е. Минимальная покупка - 1 товар), поэтому это явление может следовать за распределением ZTP.^[3]

Поскольку ZTP является усеченное распределение с усечением, оговоренным как k > 0, можно вывести функция массы вероятности грамм(k;λ) из стандартного распределения Пуассона ж(k;λ) следующее:^[4]

${\displaystyle g(k;\lambda )=P(X=k\mid X>0)={\frac {f(k;\lambda )}{1-f(0;\lambda )}}={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!\left(1-e^{-\lambda }\right)}}={\frac {\lambda ^{k}}{(e^{\lambda }-1)k!}}}$

В иметь в виду является

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\lambda }{1-e^{-\lambda }}}={\frac {\lambda e^{\lambda }}{e^{\lambda }-1}}}$

и отклонение является

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {\lambda +\lambda ^{2}}{1-e^{-\lambda }}}-{\frac {\lambda ^{2}}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}=\operatorname {E} [X](1+\lambda -\operatorname {E} [X])}$

Оценка параметров

В оценщик максимального правдоподобия ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}}$ для параметра ${\displaystyle \lambda }$ получается путем решения

${\displaystyle {\frac {\widehat {\lambda }}{1-e^{-{\widehat {\lambda }}}}}={\bar {x}}}$

куда ${\displaystyle {\bar {x}}}$ это выборочное среднее.^[1]

Сгенерированные случайные величины с нулевым усечением с распределением Пуассона

Случайные переменные, выбранные из усеченного до нуля распределения Пуассона, могут быть получены с использованием алгоритмов, полученных из алгоритмов распределения Пуассона.^[5]

    в этом:         Позволять k ← 1, t ← е−λ / (1 - е−λ) * λ, s ← t. Сгенерируйте равномерное случайное число u в [0,1]. пока s делать: k ← k + 1. t ← t * λ / k. s ← s + t. возвращаться k.

Рекомендации

1. Коэн, А. Клиффорд (1960). «Оценка параметров условного распределения Пуассона». Биометрия. 16 (2): 203–211. Дои:10.2307/2527552. JSTOR  2527552.
2. Сингх, Джагбир (1978). «Характеристика положительного распределения Пуассона и его применение». Журнал SIAM по прикладной математике. 34: 545–548. Дои:10.1137/0134043.
3. «Примеры анализа данных Stata: регрессия Пуассона с нулевым усечением». UCLA Институт цифровых исследований и образования. Получено 7 августа 2013.
4. Джонсон, Норман Л .; Кемп, Эдрианн В .; Котц, Самуэль (2005). Одномерные дискретные распределения (третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience.
5. Borje, Gio. "Алгоритм выборки с нулевым усеченным распределением Пуассона".