Усеченное распределение - Truncated distribution

Усеченное распределение

Функция плотности вероятности Функция плотности вероятности для усеченного нормального распределения для различных наборов параметров. Во всех случаях, а = −10 и б = 10. Для черного: μ = −8, σ = 2; синий: μ = 0, σ = 2; красный: μ = 9, σ = 10; апельсин: μ = 0, σ = 10.
Поддерживать	${\displaystyle x\in (a,b]}$
PDF	${\displaystyle {\frac {g(x)}{F(b)-F(a)}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\int _{a}^{x}g(t)dt}{F(b)-F(a)}}={\frac {F(x)-F(a)}{F(b)-F(a)}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\int _{a}^{b}xg(x)dx}{F(b)-F(a)}}}$
Медиана	${\displaystyle F^{-1}\left({\frac {F(a)+F(b)}{2}}\right)}$

В статистика, а усеченное распределение это условное распределение что является результатом ограничения домена некоторых других распределение вероятностей. Усеченные распределения возникают в практической статистике в случаях, когда возможность записывать или даже знать о событиях ограничена значениями, лежащими выше или ниже заданного порога или в заданном диапазоне. Например, если проверяются даты рождения детей в школе, они, как правило, подлежат усечению по сравнению с датами рождения всех детей в этом районе, учитывая, что школа принимает только детей определенного возраста в конкретную дату. Не было бы информации о том, сколько детей в этом районе родились до или после даты закрытия школы, если бы для получения информации использовался только прямой доступ к школе.

Если выборка такова, чтобы сохранить сведения об элементах, выходящих за пределы требуемого диапазона, без регистрации фактических значений, это называется цензура, в отличие от усечение здесь.^[1]

Определение

Следующее обсуждение относится к случайной величине, имеющей непрерывное распространение хотя те же идеи применимы к дискретные распределения. Точно так же в обсуждении предполагается, что усечение происходит до полуоткрытого интервала. у ∈ (а, б], но другие возможности могут быть обработаны напрямую.

Предположим, у нас есть случайная величина, ${\displaystyle X}$ который распределяется согласно некоторой функции плотности вероятности, ${\displaystyle f(x)}$, с кумулятивной функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$ оба имеют бесконечное поддерживать. Предположим, мы хотим узнать плотность вероятности случайной величины после ограничения опоры между двумя константами, чтобы опора, ${\displaystyle y=(a,b]}$. То есть, предположим, мы хотим знать, как ${\displaystyle X}$ распространяется с учетом ${\displaystyle a<X\leq b}$.

${\displaystyle f(x|a<X\leq b)={\frac {g(x)}{F(b)-F(a)}}={\frac {f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}{F(b)-F(a)}}\propto _{x}f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}$

куда ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle a<x\leq b}$ и ${\displaystyle g(x)=0}$ где-либо еще. То есть, ${\displaystyle g(x)=f(x)\cdot I(\{a<x\leq b\})}$ куда ${\displaystyle I}$ - индикаторная функция. Обратите внимание, что знаменатель в усеченном распределении постоянен по отношению к ${\displaystyle x}$.

Обратите внимание, что на самом деле ${\displaystyle f(x|a<X\leq b)}$ это плотность:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x|a<X\leq b)dx={\frac {1}{F(b)-F(a)}}\int _{a}^{b}g(x)dx=1}$.

В усеченных дистрибутивах нет необходимости удалять части сверху и снизу. Усеченный дистрибутив, в котором удалена только нижняя часть распределения, выглядит следующим образом:

${\displaystyle f(x|X>y)={\frac {g(x)}{1-F(y)}}}$

куда ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle y<x}$ и ${\displaystyle g(x)=0}$ везде, и ${\displaystyle F(x)}$ это кумулятивная функция распределения.

Усеченный дистрибутив, в котором удалена верхняя часть распределения, выглядит следующим образом:

${\displaystyle f(x|X\leq y)={\frac {g(x)}{F(y)}}}$

куда ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\leq y}$ и ${\displaystyle g(x)=0}$ везде, и ${\displaystyle F(x)}$ это кумулятивная функция распределения.

Ожидание усеченной случайной величины

Предположим, мы хотим найти ожидаемое значение случайной величины, распределенной в соответствии с плотностью ${\displaystyle f(x)}$ и совокупное распределение ${\displaystyle F(x)}$ учитывая, что случайная величина, ${\displaystyle X}$, больше некоторого известного значения ${\displaystyle y}$. Таким образом, ожидание усеченной случайной величины:

${\displaystyle E(X|X>y)={\frac {\int _{y}^{\infty }xg(x)dx}{1-F(y)}}}$

где снова ${\displaystyle g(x)}$ является ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x>y}$ и ${\displaystyle g(x)=0}$ где-либо еще.

Сдача ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ - нижний и верхний пределы соответственно поддержки исходной функции плотности ${\displaystyle f}$ (которое мы предполагаем непрерывным), свойства ${\displaystyle E(u(X)|X>y)}$, куда ${\displaystyle u}$ является некоторой непрерывной функцией с непрерывной производной, включают:

(я) ${\displaystyle \lim _{y\to a}E(u(X)|X>y)=E(u(X))}$

(ii) ${\displaystyle \lim _{y\to b}E(u(X)|X>y)=u(b)}$

(iii) ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]={\frac {f(y)}{1-F(y)}}[E(u(X)|X>y)-u(y)]}$

и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X<y)]={\frac {f(y)}{F(y)}}[-E(u(X)|X<y)+u(y)]}$

(iv) ${\displaystyle \lim _{y\to a}{\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]=f(a)[E(u(X))-u(a)]}$

(v) ${\displaystyle \lim _{y\to b}{\frac {\partial }{\partial y}}[E(u(X)|X>y)]={\frac {1}{2}}u'(b)}$

При наличии ограничений, то есть: ${\displaystyle \lim _{y\to c}u'(y)=u'(c)}$, ${\displaystyle \lim _{y\to c}u(y)=u(c)}$ и ${\displaystyle \lim _{y\to c}f(y)=f(c)}$ куда ${\displaystyle c}$ представляет собой либо ${\displaystyle a}$ или же ${\displaystyle b}$.

Примеры

В усеченное нормальное распределение это важный пример.^[2]

В Модель Tobit использует усеченное распределение. Другие примеры включают усеченный бином при x = 0 и усеченный пуассон при x = 0.

Случайное усечение

Предположим, у нас есть следующая настройка: значение усечения, ${\displaystyle t}$, выбирается случайным образом из плотности, ${\displaystyle g(t)}$, но этого значения не наблюдается. Тогда значение, ${\displaystyle x}$, выбирается случайным образом из усеченного распределения, ${\displaystyle f(x|t)=Tr(x)}$. Предположим, мы наблюдаем ${\displaystyle x}$ и хотим обновить наше мнение о плотности ${\displaystyle t}$ учитывая наблюдение.

Во-первых, по определению:

${\displaystyle f(x)=\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)dt}$, и

${\displaystyle F(a)=\int _{x}^{a}\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x|t)g(t)dt\right]dx.}$

Заметь ${\displaystyle t}$ должно быть больше чем ${\displaystyle x}$, поэтому при интегрировании по ${\displaystyle t}$, мы устанавливаем нижнюю границу ${\displaystyle x}$. Функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle F(x)}$ - безусловная плотность и безусловная кумулятивная функция распределения соответственно.

К Правило Байеса,

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}},}$

который расширяется до

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)dt}}.}$

Два равномерных распределения (пример)

Предположим, мы знаем, что т равномерно распределена из [0,Т] и Икс|т распределена равномерно на [0,т]. Позволять грамм(т) и ж(Икс|т) - плотности, описывающие т и Икс соответственно. Предположим, мы наблюдаем значение Икс и хотите знать распределение т учитывая эту ценность Икс.

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}}={\frac {1}{t(\ln(T)-\ln(x))}}\quad {\text{for all }}t>x.}$

Смотрите также

• Усеченное среднее

Рекомендации

1. Додж, Ю. (2003) Оксфордский словарь статистических терминов. ОУП. ISBN  0-19-920613-9
2. Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1994) Непрерывные одномерные распределения, Том 1, Wiley. ISBN  0-471-58495-9 (Раздел 10.1)