Окрестности куспида - Cusp neighborhood

В математика, а окрестности куспида определяется как множество точек около особенность острия.

Окрестности каспа для римановой поверхности

Окрестность возврата гиперболического Риманова поверхность можно определить с точки зрения его Фуксова модель.

Предположим, что Фуксова группа г содержит параболический элемент г. Например, элемент т ∈ SL (2,Z) где

${\displaystyle t(z)={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}:z={\frac {1\cdot z+1}{0\cdot z+1}}=z+1}$

параболический элемент. Отметим, что все параболические элементы SL (2,C) находятся сопрягать к этому элементу. То есть, если г ∈ SL (2,Z) параболичен, то ${\displaystyle g=h^{-1}th}$ для некоторых час ∈ SL (2,Z).

Набор

${\displaystyle U=\{z\in \mathbf {H} :\Im z>1\}}$

где ЧАС это верхняя полуплоскость имеет

${\displaystyle \gamma (U)\cap U=\emptyset }$

для любого ${\displaystyle \gamma \in G-\langle g\rangle }$ где ${\displaystyle \langle g\rangle }$ понимается как группа Сгенерированно с помощью г. То есть γ действует правильно прерывисто на U. Из-за этого видно, что проекция U на ЧАС/г таким образом

${\displaystyle E=U/\langle g\rangle }$.

Вот, E называется окрестность каспа, соответствующая g.

Обратите внимание, что гиперболическая область E равно 1 при вычислении с использованием канонического Метрика Пуанкаре. Легче всего это увидеть на примере: рассмотрим пересечение U определено выше с фундаментальная область

${\displaystyle \left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}$

из модульная группа, что было бы целесообразно для выбора Т как параболический элемент. При интеграции через элемент объема

${\displaystyle d\mu ={\frac {dxdy}{y^{2}}}}$

результат тривиально 1. Площади всех окрестностей каспа равны этому, по инвариантности сопрягаемой площади.