Кватернионный порядок Гурвица - Hurwitz quaternion order

В Кватернионный порядок Гурвица это конкретный порядок в кватернионная алгебра над подходящим числовое поле. Порядок имеет особое значение в Риманова поверхность теории, применительно к поверхностям с максимальным симметрия, а именно Поверхности Гурвица.^[1] Кватернионный порядок Гурвица изучался в 1967 г. Горо Шимура,^[2] но сначала явно описано Ноам Элкис в 1998 г.^[3] Для альтернативного использования термина см. Кватернион Гурвица (оба употребления актуальны в литературе).

Определение

Позволять ${displaystyle K}$ максимальное вещественное подполе ${displaystyle mathbb {Q} }$${displaystyle (ho )}$ куда ${displaystyle ho }$ 7-примитивный корень единства. В кольцо целых чисел из ${displaystyle K}$ является ${displaystyle mathbb {Z} [eta ]}$, где элемент ${displaystyle eta =ho +{ar {ho }}}$ можно отождествить с положительным реальным ${displaystyle 2cos({ frac {2pi }{7}})}$. Позволять ${displaystyle D}$ быть кватернионная алгебра, или алгебра символов

${displaystyle D:=,(eta ,eta )_{K},}$

так что ${displaystyle i^{2}=j^{2}=eta }$ и ${displaystyle ij=-ji}$ в ${displaystyle D.}$ Также позвольте ${displaystyle au =1+eta +eta ^{2}}$ и ${displaystyle j'={ frac {1}{2}}(1+eta i+ au j)}$. Позволять

${displaystyle {mathcal {Q}}_{mathrm {Hur} }=mathbb {Z} [eta ][i,j,j'].}$

потом ${displaystyle {mathcal {Q}}_{mathrm {Hur} }}$ это максимальный порядок из ${displaystyle D}$, описанный явно Ноам Элкис.^[4]

Структура модуля

Приказ ${displaystyle Q_{mathrm {Hur} }}$ также генерируется элементами

${displaystyle g_{2}={ frac {1}{eta }}ij}$

и

${displaystyle g_{3}={ frac {1}{2}}(1+(eta ^{2}-2)j+(3-eta ^{2})ij).}$

Фактически заказ - бесплатный ${displaystyle mathbb {Z} [eta ]}$-модуль над базой ${displaystyle ,1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$. Здесь генераторы удовлетворяют соотношениям

${displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,}$

которые спускаются к соответствующим отношениям в (2,3,7) треугольная группа, после факторизации по центру.

Подгруппы главных конгруэнций

Основная подгруппа конгруэнции, определяемая идеалом ${displaystyle Isubset mathbb {Z} [eta ]}$ по определению группа

${displaystyle {mathcal {Q}}_{mathrm {Hur} }^{1}(I)={xin {mathcal {Q}}_{mathrm {Hur} }^{1}:xequiv 1(}$мод ${displaystyle I{mathcal {Q}}_{mathrm {Hur} })},}$

а именно, группа элементов пониженная норма 1 дюйм ${displaystyle {mathcal {Q}}_{mathrm {Hur} }}$ эквивалентно 1 по модулю идеального ${displaystyle I{mathcal {Q}}_{mathrm {Hur} }}$. Соответствующая фуксова группа получается как образ главной конгруэнтной подгруппы при представлении в PSL (2, R).

Заявление

Приказ использовали Кац, Шапс и Вишне.^[5] построить семейство поверхностей Гурвица, удовлетворяющих асимптотической нижней оценке систолы: ${displaystyle sys>{frac {4}{3}}log g}$ где g - род, улучшающий предыдущий результат Питер Базер и Питер Сарнак;^[6] видеть систолы поверхностей.

Смотрите также

• (2,3,7) треугольная группа
• Кляйн квартика
• Поверхность Macbeath
• Первая тройка Гурвица

Рекомендации

1. Фогелер, Роджер (2003), О геометрии поверхностей Гурвица (Доктор философии), Государственный университет Флориды.
2. Шимура, Горо (1967), "Построение полей классов и дзета-функций алгебраических кривых", Анналы математики, Вторая серия, 85: 58–159, Дои:10.2307/1970526, МИСТЕР  0204426.
3. Элкис, Ноам Д. (1998), "Расчет кривой Шимуры", Алгоритмическая теория чисел (Портленд, Орегон, 1998), Конспект лекций по информатике, 1423, Берлин: Springer-Verlag, стр. 1–47, arXiv:math.NT / 0005160, Дои:10.1007 / BFb0054850, МИСТЕР  1726059.
4. Элкис, Ноам Д. (1999), «Квартика Клейна в теории чисел» (PDF), в Леви, Сильвио (ред.), Восьмеричный путь: красота кривой четвертой степени Кляйна, Публикации Института математических наук, 35, Cambridge University Press, стр. 51–101, МИСТЕР  1722413.
5. Кац, Михаил Г.; Шапс, Мэри; Вишне, Узи (2007), «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей по подгруппам конгруэнций», Журнал дифференциальной геометрии, 76 (3): 399–422, arXiv:math.DG / 0505007, МИСТЕР  2331526.
6. Buser, P .; Сарнак, П. (1994), "О матрице периодов римановой поверхности большого рода", Inventiones Mathematicae, 117 (1): 27–56, Bibcode:1994InMat.117 ... 27B, Дои:10.1007 / BF01232233, МИСТЕР  1269424. С приложением Дж. Х. Конвея и Н. Дж. А. Слоана.