Конфигурация Грюнбаума – Ригби - Grünbaum–Rigby configuration

Конфигурация Грюнбаума-Ригби

В геометрии Конфигурация Грюнбаума – Ригби симметричный конфигурация состоит из 21 точки и 21 линии, по четыре точки на каждой линии и по четыре линии через каждую точку. Первоначально изучал Феликс Кляйн в комплексная проективная плоскость в связи с Кляйн квартика, это было впервые реализовано в Евклидова плоскость к Бранко Грюнбаум и Джон Ф. Ригби.

История и обозначения

Конфигурация Грюнбаума – Ригби была известна Феликс Кляйн, Уильям Бернсайд, и Х. С. М. Коксетер.[1] Его первоначальное описание Клейном в 1879 году ознаменовало первое появление в математической литературе 4-конфигурации, системы точек и линий с четырьмя точками на линию и четырьмя линиями на точку.[2]В описании Клейна эти точки и линии принадлежат комплексная проективная плоскость, пространство с координатами сложные числа а не вещественные координаты евклидовой плоскости.

Геометрическая реализация этой конфигурации в виде точек и линий на Евклидова плоскость, основанный на наложении трех обычных гептаграммы, был установлен намного позже, Бранко Грюнбаум и Дж. Ф. Ригби  (1990 ). Их статья об этом стала первой из серии работ Грюнбаума о конфигурациях и содержала первое опубликованное графическое изображение 4-конфигурации.[3]

В обозначениях конфигураций обозначаются конфигурации из 21 точки, 21 линии, 4 точек на линию и 4 линий на точку (214). Однако в нотации указывается не сама конфигурация, а только ее тип (количество точек, линий и падений). Также не уточняется, является ли конфигурация чисто комбинаторной (абстрактный паттерн падения линий и точек), или же точки и линии конфигурации могут быть реализованы в евклидовой плоскости или другой стандартной геометрии.4) весьма неоднозначно: существует неизвестное, но большое количество (комбинаторных) конфигураций этого типа, 200 из которых были перечислены Ди Паола и Гропп (1989).[4]

Строительство

Конфигурация Грюнбаума – Ригби может быть построена из семи точек регулярного семиугольник и его 14 внутренних диагоналей. Чтобы завершить 21 точку и линию конфигурации, их нужно увеличить еще на 14 точек и еще семь линий. Остальные 14 точек конфигурации - это точки пересечения пар диагоналей семиугольника одинаковой длины. Они образуют два меньших семиугольника, по одному на каждую из двух длин диагонали; стороны этих меньших семиугольников являются диагоналями внешнего семиугольника. Каждый из двух меньших семиугольников имеет 14 диагоналей, семь из которых являются общими с другим меньшим семиугольником. Семь общих диагоналей - это оставшиеся семь линий конфигурации.[5]

Первоначальная конструкция конфигурации Грюнбаума – Ригби Кляйном рассматривала ее точки и линии как принадлежащие комплексная проективная плоскость, а не евклидова плоскость. В этом пространстве точки и линии образуют центры перспективы и оси перспективные преобразования из Кляйн квартика.[6] Они имеют тот же образец пересечения точек и линий, что и евклидова версия конфигурации.

В конечная проективная плоскость имеет 57 точек и 57 строк и может получать координаты на основе целых чисел по модулю 7. В этом пространстве каждый конический (множество решений двухпеременной квадратное уровненеие по модулю 7) имеет 28 секущие линии через пары точек, 8 касательные линии через одну точку и 21 несекущую прямую, не пересекающуюся с Кроме того, есть 28 точек пересечения пар касательных, 8 точек на , и 21 внутренняя точка, не принадлежащая ни одной касательной. 21 несекущая прямая и 21 внутренняя точка образуют пример конфигурации Грюнбаума – Ригби, что означает, что эти точки и прямые снова имеют одинаковый образец пересечения.[7]

Характеристики

В проективный дуальный В этой конфигурации система точек и линий с точкой для каждой линии конфигурации и линией для каждой точки и с одинаковыми углами падения точки и линии является одной и той же конфигурацией. В группа симметрии конфигурации включает в себя симметрии, которые переводят любую инцидентную пару точек и прямых в любую другую инцидентную пару.[8]Конфигурация Грюнбаума – Ригби является примером полициклической конфигурации, то есть конфигурации с циклическая симметрия, так что каждый орбита точек или линий имеет одинаковое количество элементов.[9]

Примечания

  1. ^ Грюнбаум (2009 г., п. 156); Кляйн (1879); Бернсайд (1907); Кокстер (1983).
  2. ^ Грюнбаум (2009), п. 156.
  3. ^ Грюнбаум (2009), п. 13.
  4. ^ Грюнбаум (2009), п. 53.
  5. ^ Грюнбаум и Ригби (1990).
  6. ^ Кляйн (1879). См. Перевод. п. 297.
  7. ^ Кокстер (1983).
  8. ^ Грюнбаум (2009), п. 363.
  9. ^ Бобен и Пизанский (2003).

Рекомендации