Картановское разложение - Cartan decomposition

В математике Картановское разложение является разложением полупростой Группа Ли или же Алгебра Ли, который играет важную роль в теории их строения и теория представлений. Он обобщает полярное разложение или же разложение по сингулярным числам матриц. Его история восходит к работам 1880-х гг. Эли Картан и Вильгельм Киллинг.^[1]

Картановские инволюции на алгебрах Ли

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть настоящим полупростая алгебра Ли и разреши ${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$ быть его Форма убийства. An инволюция на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является алгеброй Ли автоморфизм ${\displaystyle \theta }$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ квадрат которого равен единице. Такая инволюция называется Инволюция Картана на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ если ${\displaystyle B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)}$ это положительно определенная билинейная форма.

Две инволюции ${\displaystyle \theta _{1}}$ и ${\displaystyle \theta _{2}}$ считаются эквивалентными, если они отличаются только внутренний автоморфизм.

Любая вещественная полупростая алгебра Ли имеет инволюцию Картана, и любые две инволюции Картана эквивалентны.

Примеры

• Инволюция Картана на ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ определяется ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$, куда ${\displaystyle X^{T}}$ обозначает транспонированную матрицу ${\displaystyle X}$.
• Карта идентичности на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ инволюция. Это уникальная инволюция Картана ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ тогда и только тогда, когда убийственная форма ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ отрицательно определен или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является алгеброй Ли компактный полупростая группа Ли.
• Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть комплексирование вещественной полупростой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$, то комплексное сопряжение на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ инволюция на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Это инволюция Картана на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ если и только если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ является алгеброй Ли компактной группы Ли.
• Следующие отображения являются инволюциями алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ из особая унитарная группа Солнце):
  1. Инволюция идентичности ${\displaystyle \theta _{1}(X)=X}$, которая в данном случае является единственной инволюцией Картана.
  2. Комплексное сопряжение, выражаемый как ${\displaystyle \theta _{2}(X)=-X^{T}}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$.
  3. Если ${\displaystyle n=p+q}$ странно, ${\displaystyle \theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}}$. Инволюции (1), (2) и (3) эквивалентны, но не эквивалентны тождественной инволюции, поскольку ${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}$.
  4. Если ${\displaystyle n=2m}$ четный, есть также ${\displaystyle \theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}}$.

Картановые пары

Позволять ${\displaystyle \theta }$ инволюция на алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. С ${\displaystyle \theta ^{2}=1}$, линейная карта ${\displaystyle \theta }$ имеет два собственных значения ${\displaystyle \pm 1}$. Если ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ обозначим собственные подпространства, соответствующие +1 и -1, соответственно, тогда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$. С ${\displaystyle \theta }$ является автоморфизмом алгебры Ли, скобка Ли двух ее собственных подпространств содержится в собственном подпространстве, соответствующем произведению их собственных значений. Следует, что

${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$, ${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}$, и ${\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$.

Таким образом ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ является подалгеброй Ли, а любая подалгебра в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ коммутативен.

Наоборот, разложение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ с этими дополнительными свойствами определяет инволюцию ${\displaystyle \theta }$ на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ то есть ${\displaystyle +1}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Такая пара ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ также называется Картановая пара из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, и ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$ называется симметричная пара. Это понятие пары Картана здесь не следует путать с отчетливое понятие включающие когомологии относительной алгебры Ли ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$.

Разложение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ связанная с инволюцией Картана, называется Картановское разложение из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Особенностью разложения Картана является то, что форма Киллинга отрицательно определена на ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и положительно определенно на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Более того, ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ являются ортогональными дополнениями друг друга относительно формы Киллинга на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Разложение Картана на уровне группы Ли

Позволять ${\displaystyle G}$ - некомпактная полупростая группа Ли и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ его алгебра Ли. Позволять ${\displaystyle \theta }$ инволюция Картана на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и разреши ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ - получившаяся пара Картана. Позволять ${\displaystyle K}$ быть аналитическая подгруппа из ${\displaystyle G}$ с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$. Потом:

• Существует автоморфизм группы Ли ${\displaystyle \Theta }$ с дифференциалом ${\displaystyle \theta }$ в тождестве, которое удовлетворяет ${\displaystyle \Theta ^{2}=1}$.
• Подгруппа элементов, фиксируемая ${\displaystyle \Theta }$ является ${\displaystyle K}$; особенно, ${\displaystyle K}$ - замкнутая подгруппа.
• Отображение ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ данный ${\displaystyle (k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)}$ это диффеоморфизм.
• Подгруппа ${\displaystyle K}$ содержит центр ${\displaystyle Z_{G}}$ из ${\displaystyle G}$, и ${\displaystyle K/Z_{G}}$ компактный.
• Подгруппа ${\displaystyle K}$ - максимальная подгруппа в ${\displaystyle G}$ который содержит центр и для которого ${\displaystyle K/Z_{G}}$ компактный.

Автоморфизм ${\displaystyle \Theta }$ также называется глобальная инволюция Картана, а диффеоморфизм ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ называется глобальное разложение Картана. Если мы напишем ${\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}$это говорит о том, что карта продукта ${\displaystyle K\times P\rightarrow G}$ является диффеоморфизмом, поэтому ${\displaystyle G=KP}$.

Для общей линейной группы ${\displaystyle X\mapsto (X^{-1})^{T}}$ является инволюцией Картана.^{[требуется разъяснение ]}

Уточнение разложения Картана для симметрических пространств компактного или некомпактного типа утверждает, что максимальные абелевы подалгебры ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ уникальны с точностью до спряжения ${\displaystyle K}$. Более того,

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}}$

куда ${\displaystyle A=e^{\mathfrak {a}}}$.

Таким образом, в компактном и некомпактном случае из глобального разложения Картана следует

${\displaystyle G=KAK,}$

Геометрически образ подгруппы ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle G/K}$ это полностью геодезический подмногообразие.

Отношение к полярному разложению

Учитывать ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ с инволюцией Картана ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$.^{[требуется разъяснение ]} потом ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )}$ - вещественная алгебра Ли кососимметрических матриц, так что ${\displaystyle K=\mathrm {SO} (n)}$, пока ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ - подпространство симметричных матриц. Таким образом, экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом из ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ на пространство положительно определенных матриц. До этого экспоненциального отображения глобальное разложение Картана представляет собой полярное разложение матрицы. Полярное разложение обратимой матрицы уникально.

Смотрите также

• Разложения группы Ли

Примечания

1. Кляйнер 2007

Рекомендации

• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Чистая и прикладная математика, 80, Academic Press, ISBN  0-8218-2848-7, МИСТЕР  0514561
• Кляйнер, Израиль (2007). История абстрактной алгебры. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. Дои:10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN  978-0817646844. МИСТЕР  2347309.
• Кнапп, Энтони В. (2005) [1996]. Бас, Хайман; Эстерле, Жозеф; Алан, Вайнштейн (ред.). Группы лжи за пределами введения. Успехи в математике. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4259-5. МИСТЕР  1920389.