Пространство Линделёфа - Lindelöf space

В математика, а Пространство Линделёфа^[1][2] это топологическое пространство в котором каждый открытая крышка имеет счетный под прикрытием. Свойство Линделёфа является ослаблением более широко используемого понятия компактность, что требует наличия конечный под прикрытием.

А наследственно пространство Линделёфа^[3] является топологическим пространством, в котором каждое подпространство является линделёфским. Такое пространство иногда называют сильно Линделёф, но сбивает с толку то, что терминология иногда используется в совершенно другом значении.^[4]Период, термин по наследству Линделёф более распространен и однозначен.

Пространства Линделёфа названы в честь Финский математик Эрнст Леонард Линделёф.

Свойства пространств Линделёфа

• Каждый компактное пространство, и вообще каждый σ-компактное пространство, это Линделёф. В частности, каждое счетное пространство линделёфское.
• Пространство Линделёфа компактно тогда и только тогда, когда оно счетно компактный.
• Каждый секундомер Линделёф,^[5] но не наоборот. Например, есть много компактных пространств, которые не считаются вторыми.
• А метрическое пространство Линделёф, если и только если он отделяемый, и если и только если это счетный.^[6]
• Каждый обычный Пространство Линделёфа нормальный.^[7]
• Каждый обычный Пространство Линделёфа паракомпакт.^[8]
• Счетное объединение подпространств Линделёфа топологического пространства - это Линделёф.
• Каждое замкнутое подпространство в пространстве Линделёфа линделёфское.^[9] Следовательно, каждый F_σ набор в пространстве Линделёфа - это Линделёф.
• Произвольные подпространства в пространстве Линделёфа не обязательно должны быть Линделёфскими.^[10]
• Непрерывный образ пространства Линделёфа - это Линделёф.^[11]
• Произведение пространства Линделёфа и компактного пространства есть Линделёф.^[12]
• Произведение пространства Линделёфа и σ-компактное пространство Линделёф. Это следствие предыдущего свойства.
• Произведение двух пространств Линделёфа не обязательно должно быть Линделёфом. Например, Линия Sorgenfrey ${\displaystyle S}$ Линделёф, но Самолет Соргенфри ${\displaystyle S\times S}$ не Линделёф.^[13]
• В пространстве Линделёфа каждое локально конечный семейство непустых подмножеств не более чем счетно.

Свойства наследственных пространств Линделёфа

• Пространство наследственно линделёфское тогда и только тогда, когда каждое его открытое подпространство линделёфское.^[14]
• Наследственно пространства Линделёфа замкнуты относительно счетных объединений, подпространств и непрерывных образов.
• Регулярное пространство Линделёфа наследственно линделёфское тогда и только тогда, когда оно совершенно нормально.^[15][16]
• Каждый секундомер по наследству Линделёф.
• Каждое счетное пространство наследственно линделёфское.
• Каждый Пространство суслина по наследству Линделёф.
• Каждый Радоновая мера на наследственном пространстве Линделёфа модерируется.

Пример: самолет Зоргенфри - это не Линделёф.

В товар пространств Линделёфа не обязательно является Линделёфом. Обычный пример этого - Самолет Соргенфри ${\displaystyle \mathbb {S} }$, который является продуктом реальная линия ${\displaystyle \mathbb {R} }$ под топология полуоткрытого интервала с собой. Открытые наборы на плоскости Соргенфрея - это соединения полуоткрытых прямоугольников, которые включают южные и западные края и опускают северные и восточные края, включая северо-западные, северо-восточные и юго-восточные углы. В антидиагональный из ${\displaystyle \mathbb {S} }$ это набор точек ${\displaystyle (x,y)}$ такой, что ${\displaystyle x+y=0}$.

Рассмотрим открытое покрытие из ${\displaystyle \mathbb {S} }$ который состоит из:

1. Набор всех прямоугольников ${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y)}$, куда ${\displaystyle (x,y)}$ находится на антидиагонали.
2. Набор всех прямоугольников ${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty )}$, куда ${\displaystyle (x,y)}$ находится на антидиагонали.

Здесь следует отметить, что каждая точка антидиагонали содержится ровно в одном наборе покрытия, поэтому все эти множества необходимы.

Другой способ увидеть это ${\displaystyle S}$ не Линделёф, значит отметить, что антидиагональ определяет замкнутую и бесчисленный дискретный подпространство ${\displaystyle S}$. Это подпространство не является Линделёфом, и поэтому все пространство также не может быть Линделёфом (поскольку замкнутые подпространства пространств Линделёфа также являются Линделёфом).

Обобщение

Следующее определение обобщает определения компакта и линделёфа: топологическое пространство - это ${\displaystyle \kappa }$-компактный (или же ${\displaystyle \kappa }$-Lindelöf), куда ${\displaystyle \kappa }$ есть ли кардинал, если каждый открытый крышка имеет подкрытие кардинальности строго меньше, чем ${\displaystyle \kappa }$. Компактный тогда ${\displaystyle \aleph _{0}}$-компактным и Линделёф тогда ${\displaystyle \aleph _{1}}$-компактный.

В Степень Линделёфа, или же Число Линделёфа ${\displaystyle l(X)}$, является наименьшим кардиналом ${\displaystyle \kappa }$ так что каждая открытая крышка пространства ${\displaystyle X}$ имеет подклад размером не более ${\displaystyle \kappa }$. В этих обозначениях ${\displaystyle X}$ Линделёф, если ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}}$. Число Линделёфа, как определено выше, не различает компактные пространства и некомпактные пространства Линделёфа. Некоторые авторы дали название Число Линделёфа к другому понятию: наименьший кардинал ${\displaystyle \kappa }$ так что каждая открытая крышка пространства ${\displaystyle X}$ имеет подкладку размером строго меньше, чем ${\displaystyle \kappa }$.^[17] В этом последнем (и менее используемом) смысле число Линделёфа является наименьшим кардинальным ${\displaystyle \kappa }$ такое, что топологическое пространство ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle \kappa }$-компактный. Это понятие иногда также называют степень компактности пространства ${\displaystyle X}$.^[18]

Смотрите также

• Аксиомы счетности
• Лемма Линделёфа

Примечания

1. Steen & Seebach, стр. 19
2. Уиллард, Защ. 16.5, п. 110
3. Уиллард, 16Е, стр. 114
4. https://www.semanticscholar.org/paper/A-NOTE-ON-STRONGLY-LINDELO%CC%88F-SPACES-Ganster/04b50b66a69e898fb5fec820765244f07d9beddc
5. Уиллард, теорема 16.9, с. 111
6. Уиллард, теорема 16.11, с. 112
7. Уиллард, теорема 16.8, с. 111
8. Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактных пространствах» (PDF). Труды Американского математического общества. 4 (5): 831–838. Дои:10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8. ISSN  0002-9939.
9. Уиллард, теорема 16.6, с. 110
10. https://dantopology.wordpress.com/2012/04/15/examples-of-lindelof-spaces-that-are-not-hereditally-lindelof/
11. Уиллард, теорема 16.6, с. 110
12. https://dantopology.wordpress.com/2011/05/01/the-tube-lemma/
13. https://dantopology.wordpress.com/2009/09/27/a-note-on-the-sorgenfrey-line
14. Энгелькинг, 3.8.A (b), p. 194
15. Энгелькинг, 3.8.A (c), p. 194
16. https://math.stackexchange.com/a/322506/52912
17. Мэри Эллен Рудин, Лекции по теоретико-множественной топологии, Конференция Совета математических наук, Американское математическое общество, 1975, с. 4, можно найти в Google Книгах [1]
18. Гушек, Мирослав (1969), «Класс k-компактные места просто », Mathematische Zeitschrift, 110: 123–126, Дои:10.1007 / BF01124977, МИСТЕР  0244947.

Рекомендации

• Энгелькинг, Рышард, Общая топология, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• И. Юхас (1980). Кардинальные функции в топологии - десять лет спустя. Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN  90-6196-196-3.
• Мункрес, Джеймс. Топология, 2-е изд..
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-486-68735-3. МИСТЕР  0507446.
• Уиллард, Стивен. Общая топология, Dover Publications (2004) ISBN  0-486-43479-6