Абстракция (математика) - Abstraction (mathematics)

Абстракция в математика представляет собой процесс извлечения базовых структур, паттернов или свойств математической концепции, удаления любой зависимости от объектов реального мира, с которыми она могла быть первоначально связана, и ее обобщения, чтобы она имела более широкое применение или сопоставление среди других абстрактных описаний эквивалентных явления.[1][2][3][4] Двумя наиболее абстрактными областями современной математики являются: теория категорий и теория моделей.[4]

Описание

Многие области математики начинались с изучения проблем реального мира до того, как основные правила и концепции были определены и определены как абстрактные структуры. Например, геометрия берет свое начало в вычислении расстояний и площадей в реальном мире; алгебра началась с методов решения задач в арифметика.

Абстракция - это непрерывный процесс в математике, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует прогрессию от конкретного к абстрактному. Например, первые шаги в абстракции геометрии исторически были сделаны древними греками, с Элементы Евклида это самая ранняя из сохранившихся документов аксиом плоской геометрии, хотя Прокл говорит о более раннем аксиоматизация к Гиппократ Хиосский.[5] В 17 веке Декарт представил Декартовы координаты что позволило разработать аналитическая геометрия. Дальнейшие шаги в абстракции были предприняты Лобачевский, Бойяи, Риман и Гаусс, который обобщил концепции геометрии для развития неевклидовы геометрии. Позже, в 19 веке, математики еще больше обобщили геометрию, развивая такие области, как геометрия в n размеры, проективная геометрия, аффинная геометрия и конечная геометрия. Ну наконец то Феликс Кляйн "s"Программа Эрланген "определили основную тему всех этих геометрий, определив каждую из них как исследование инвариант свойств под данной группой симметрии. Этот уровень абстракции выявил связи между геометрией и абстрактная алгебра.[6]

В математике абстракция может быть полезной по следующим причинам:

  • Он выявляет глубокие связи между разными областями математики.
  • Известные результаты в одной области могут наводить на предположения в другой смежной области.
  • Приемы и методы из одной области могут применяться для подтверждения результатов в других связанных областях.
  • Паттерны одного математического объекта могут быть обобщены на другие похожие объекты того же класса.

С другой стороны, абстракция также может быть невыгодной в том смысле, что очень абстрактные концепции могут быть трудными для изучения.[7] Степень математическая зрелость и опыт может понадобиться для концептуальная ассимиляция абстракций. Таким образом, один из основополагающих принципов Монтессори подход к математическому образованию заключается в том, чтобы побудить детей перейти от конкретных примеров к абстрактному мышлению.[8]

Бертран Рассел, в Научное обозрение (1931) пишет: «Обычный язык совершенно не подходит для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни не достаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать то же самое, что и физик».[9]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Бертран Рассел, в Принципы математики Том 1 (стр. 219) относится к принцип абстракции ".
  2. ^ Роберт Б. Эш. Учебник по абстрактной математике. Cambridge University Press, 1 января 1998 г.
  3. ^ Новый американский энциклопедический словарь. Под редакцией Эдварда Томаса Роу, Ле Роя Хукера, Томаса У. Хэндфорда. Стр. 34
  4. ^ а б "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Абстракция". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-10-22.
  5. ^ Резюме Прокла В архиве 2015-09-23 на Wayback Machine
  6. ^ Торретти, Роберто (2019), Залта, Эдвард Н. (ред.), "Геометрия девятнадцатого века", Стэнфордская энциклопедия философии (Издание осенью 2019 г.), Исследовательская лаборатория метафизики Стэнфордского университета., получено 2019-10-22
  7. ^ «... познакомить учеников с абстрактной математикой - непростая задача и требует длительных усилий, которые должны учитывать разнообразие контекстов, в которых используется математика», П.Л. Феррари, Абстракция в математике, Фил. Пер. R. Soc. Лондон. B 29 июля 2003 г. 358 нет. 1435 1225–1230
  8. ^ Философия Монтессори: от конкретного к абстрактному, Североамериканский Монтессори Центр
  9. ^ «Цитаты Рассела». Архив истории математики MacTutor. Получено 2019-10-22.

дальнейшее чтение

  • Байнок, Бела (2013). Приглашение к абстрактной математике. Springer. ISBN  978-1-4614-6635-2.