Абстрактная чушь - Abstract nonsense

В математика, абстрактная чушь, общая абстрактная чушь, обобщенная абстрактная чепуха, и общая чушь термины, используемые математики описывать абстрактные методы, относящиеся к теория категорий и гомологическая алгебра. В более общем смысле, «абстрактная чепуха» может относиться к доказательству, основанному на теоретико-категориальных методах, или даже к изучению самой теории категорий.[1]

Задний план

Грубо говоря, теория категорий - это изучение общей формы, то есть категорий математических теорий, независимо от их содержания. Как результат, математические доказательства которые полагаются на теоретико-категориальные идеи, часто кажутся вырванными из контекста, что-то вроде non sequitur. Авторы иногда называют эти доказательства «абстрактной чепухой» как беззаботный способ обратить внимание читателей на их абстрактную природу. Называть аргумент "абстрактной чепухой" обычно не унизительный,[2][3] и вместо этого используется в шутку,[4] в самоуничижительный путь,[5] ласково,[6] или даже в качестве дополнения к общности аргументации.

Определенные идеи и конструкции в математике имеют единообразие во многих областях, объединенные теорией категорий. Типичные методы включают использование классификация пространств и универсальные свойства, использование Лемма Йонеды, естественные преобразования между функторы, и погоня за диаграммой.[7]

Когда можно предположить, что аудитория знакома с общей формой таких аргументов, математики будут использовать выражение «То-то и такое-то и правда по абстрактной чепухе»." вместо того, чтобы давать подробное объяснение деталей.[3] Например, можно сказать: «По абстрактной чепухе, продукты уникальны с точностью до изоморфизма, когда они существуют", вместо того, чтобы спорить о том, как эти изоморфизмы могут быть получены из универсальная собственность что определяет продукт. Это позволяет пропустить детали доказательства, которые можно считать тривиальными или не обеспечивающими особого понимания, вместо этого сосредоточившись на действительно новаторских частях более крупного доказательства.

История

Термин предшествует основанию теории категорий как самого предмета. Ссылаясь на совместный документ с Сэмюэл Эйленберг что ввело понятие "категория "в 1942 г., Saunders Mac Lane написал, что тема была «тогда названа« общей абстрактной чепухой »».[4] Этот термин часто используется для описания применения теории категорий и ее методов к менее абстрактным областям.[8][9]

Считается, что этот термин был придуман математиком. Норман Стинрод,[10][5][6] сам один из разработчиков категоричной точки зрения.

Примеры

Рассмотрим пример, показывающий, что 3-х коллекторный M признает карта к 2-сфера что нетривиально (т.е. негомотопно постоянному отображению), когда 2-й Бетти номер из M положительный. Это означает 2-й группа когомологий имеет положительный ранг (посредством теорема об универсальных коэффициентах для когомологий ), поэтому он имеет ненулевой элемент. В свойства пространств Эйленберга – Маклейна то дадим соответствующее нетривиальное отображение ж от M к бесконечномерному сложное проективное пространство CP∞, поскольку это K(Z,2) Пространство Эйленберга – Маклейна. Космос CP∞ может быть реализован как CW комплекс ровно с одной ячейкой в ​​каждом четном измерении и без ячеек в нечетном измерении, а M могут быть реализованы без ячеек размером более 3, поэтому клеточная аппроксимационная теорема есть карта, гомотопная ж что отображает M в 3-каркас CP∞, которая является 2-сферой.

Хотя это доказательство устанавливает истинность рассматриваемого утверждения, метод доказательства имеет мало общего с топология или геометрия 2-сферы, не говоря уже о 3-многообразиях, поскольку она опирается на более общие категориальные принципы. Из-за опоры на эти абстрактные принципы результат не зависит от более тонких геометрических деталей, поэтому дает мало геометрического понимания природы такой карты. С другой стороны, доказательство на удивление короткое и чистое, а «практический» подход, включающий явное построение такой карты, был бы потенциально трудоемким.

Примечания и ссылки

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - абстрактная чепуха". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-10-27.
  2. ^ Михаил Монастырский, Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса. Мочь. Математика. Soc. Примечания, март и апрель 2001 г., том 33, ном. 2 и 3. Онлайн-версия доступна по адресу http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf.
    "В алгебре термин «абстрактная чепуха» имеет определенное значение без какой-либо уничижительной коннотации."
  3. ^ а б Макура, Виктор К. "Абстрактная ерунда". MathWorld.
  4. ^ а б Сондерс Мак Лейн. "PNAS тогда ". Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки Vol. 94, pp. 5983–5985, июнь 1997 г.
    "Первая из этих работ представляет собой более яркий случай; он ввел очень абстрактную идею «категории» - предмет, который тогда называли «общей абстрактной чепухой»!"
  5. ^ а б Джозеф Ротман "Введение в гомологическую алгебру, Чарльз А. Вейбель »(рецензия на книгу), Bull. Am. Math. Soc., 33: 4 (октябрь 1996 г.) 473–476.
    "Самоуничижительная фраза общая абстрактная чушь (благодаря Стинроду) была обнародована Эйленбергом и Мак Лейном, двумя главными новаторами гомологической алгебры, чтобы осветить этот аспект предмета."
  6. ^ а б Серж Ланг, "Алгебра", второе издание, Эддисон Уэсли, 1984, стр. 175
  7. ^ Маркиз, Жан-Пьер (2019), «Теория категорий», в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (Издание осенью 2019 г.), Исследовательская лаборатория метафизики Стэнфордского университета., получено 2019-10-27
  8. ^ Применение абстрактной ерунды к площади поверхности, Харриет Лорд
  9. ^ Абстрактная чепуха для функциональных программистов, Эдско де Врис
  10. ^ Колин Макларти, Использование и злоупотребления историей теории топоса, Br. J. Philos. Sci., 41 (1990) с. 355.
    "Стинрод в шутку обозначил теорию категорий как «абстрактную чепуху» и сделал ее центральной в своей аксиоматике гомологии."

внешние ссылки