Вавилонская математика - Babylonian mathematics

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Диагональ отображает приблизительную квадратный корень из 2 в четыре шестидесятеричный цифры, 1 24 51 10, что хорошо примерно для шести десятичный цифры.
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1,41421296 ... Табличка также дает пример, где одна сторона квадрата равна 30, а результирующая диагональ равна 42 25 35 или 42,4263888 ...

Вавилонская математика (также известный как Ассиро-вавилонская математика^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]) математика была разработана или практиковалась людьми Месопотамия, со времен раннего Шумеры к столетиям после падения Вавилон в 539 г. до н.э. Вавилонские математические тексты многочисленны и хорошо отредактированы.^[7] По времени они делятся на две отдельные группы: одна из Старый вавилонский период (1830–1531 гг. до н.э.), другой в основном Селевкид с последних трех или четырех веков до нашей эры. Что касается содержания, между двумя группами текстов практически нет различий. Вавилонская математика оставалась неизменной по своему характеру и содержанию почти два тысячелетия.^[7]

В отличие от скудности источников в Египетская математика, знание Вавилонский математика получена из примерно 400 глиняных табличек, обнаруженных с 1850-х годов. Написано в Клинопись Таблички писали, пока глина была влажной и сильно запекалась в духовке или под воздействием солнечного тепла. Большинство найденных глиняных табличек датируются 1800–1600 гг. До н. Э. И охватывают темы, включающие фракции, алгебра, квадратичный и кубические уравнения и теорема Пифагора. Вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение к ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ с точностью до трех значащих шестидесятеричных цифр (около шести значащих десятичных цифр).

Истоки вавилонской математики

Вавилонская математика - это набор числовых и более сложных математических практик в древний Ближний Восток, написано в клинопись. Исторически исследования были сосредоточены на Старовавилонский период в начале второго тысячелетия до нашей эры из-за обилия имеющихся данных. Были споры о самом раннем появлении вавилонской математики, при этом историки предполагают диапазон дат между 5-м и 3-м тысячелетиями до нашей эры.^[8] Вавилонская математика в основном писалась на глиняных табличках клинописью в Аккадский или же Шумерский языков.

«Вавилонская математика», возможно, бесполезный термин, поскольку самые ранние предполагаемые источники относятся к использованию бухгалтерских устройств, таких как буллы и жетоны, в 5 тысячелетии до нашей эры.^[9]

Вавилонские цифры

Вавилонская математическая система была шестидесятеричный (основание 60) система счисления. Отсюда мы выводим современное использование 60 секунд в минуту, 60 минут в час и 360 градусов по кругу.^[10] Вавилоняне смогли добиться больших успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 - это начальство очень сложное число с коэффициентами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (включая те, которые сами по себе являются составными), что упрощает вычисления с фракции. Кроме того, в отличие от египтян и римлян, у вавилонян было истинное номинальная стоимость система, где цифры, записанные в левом столбце, представляют большие значения (так же, как в нашей системе с основанием десяти, 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).^[11]

Шумерская математика

Древний Шумеры из Месопотамия разработала сложную систему метрология с 3000 г. до н.э. Начиная с 2600 г. до н.э., шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и разбирался геометрический упражнения и разделение проблемы. К этому периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр.^[12]

Старовавилонская математика (2000–1600 гг. До н.э.)

Большинство глиняных табличек с описанием вавилонской математики принадлежат Старый вавилонский, поэтому математика Месопотамии широко известна как вавилонская математика. Некоторые глиняные таблички содержат математические списки и таблицы, другие содержат задачи и отработанные решения.

Глиняная табличка, математическая, геометрическо-алгебраическая, аналогичная теореме Пифагора. Из Телль аль-Даббаи, Ирак. 2003-1595 гг. До н. Э. Музей Ирака

Глиняная табличка, математическая, геометрическо-алгебраическая, аналогичная евклидовой геометрии. Из Телль-Хармала, Ирак. 2003-1595 гг. До н. Э. Музей Ирака

Арифметика

Вавилоняне использовали предварительно рассчитанные таблицы, чтобы помочь с арифметика. Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрат в 1854 г., начиная с 2000 г. до н.э., приводят списки квадраты номеров до 59 и кубики чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами:

{ displaystyle ab = { frac {(a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2}}}

{ displaystyle ab = { frac {(a + b) ^ {2} - (a-b) ^ {2}} {4}}}

чтобы упростить умножение.

У вавилонян не было алгоритма длинное деление.^[13] Вместо этого они основывали свой метод на том, что:

{ displaystyle { frac {a} {b}} = a times { frac {1} {b}}}

вместе со столом взаимные. Номера, единственные главные факторы 2, 3 или 5 (известные как 5-гладкий или же обычные числа ) имеют конечные взаимные в шестидесятеричной системе счисления, и были найдены таблицы с обширными списками этих обратных чисел.

Взаимные числа, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. Д., Не имеют конечных представлений в шестидесятеричной системе счисления. Чтобы вычислить 1/13 или разделить число на 13, вавилоняне использовали приближение, например:

{ displaystyle { frac {1} {13}} = { frac {7} {91}} = 7 times { frac {1} {91}} примерно 7 times { frac {1} { 90}} = 7 times { frac {40} {3600}} = { frac {280} {3600}} = { frac {4} {60}} + { frac {40} {3600}} .}

Алгебра

В Вавилонский глиняная табличка YBC 7289 (ок. 1800–1600 до н.э.) дает приближение $\sqrt 2$ в четыре шестидесятеричный цифры, 1; 24,51,10,^[14] что с точностью до шести десятичный цифры^[15] и является ближайшим возможным трехзначным шестидесятеричным представлением $\sqrt 2$ :

{ displaystyle 1 + { frac {24} {60}} + { frac {51} {60 ^ {2}}} + { frac {10} {60 ^ {3}}} = { frac { 30547} {21600}} = 1.41421 { overline {296}}.}

Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики также разработали алгебраический методы решения уравнения. И снова они были основаны на предварительно рассчитанных таблицах.

Чтобы решить квадратное уровненеие, вавилоняне по существу использовали стандарт квадратичная формула. Они рассматривали квадратные уравнения вида:

{ displaystyle x ^ {2} + bx = c}

куда б и c не обязательно были целыми числами, но c всегда был положительным. Они знали, что решение этой формы уравнения:^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle x = - { frac {b} {2}} + { sqrt { left ({ frac {b} {2}} right) ^ {2} + c}}}

и они нашли квадратные корни эффективно, используя деление и усреднение.^[16] Они всегда использовали положительный корень, потому что это имело смысл при решении «настоящих» проблем. Задачи этого типа заключались в нахождении размеров прямоугольника с учетом его площади и величины, на которую длина превышает ширину.

Таблицы значений п³ + п² были использованы для решения некоторых кубические уравнения. Например, рассмотрим уравнение:

{ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} = c.}

Умножая уравнение на а² и деление на б³ дает:

{ displaystyle left ({ frac {ax} {b}} right) ^ {3} + left ({ frac {ax} {b}} right) ^ {2} = { frac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}.}

Подстановка у = топор/б дает:

{ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} = { frac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}}

что теперь можно было решить, просмотрев п³ + п² таблицу, чтобы найти значение, ближайшее к правой стороне. Вавилоняне сделали это без алгебраических обозначений, продемонстрировав замечательную глубину понимания. Однако у них не было метода решения общего кубического уравнения.

Рост

Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (через форму сигмовидные функции ), и время удвоения, последнее в разрезе процентов по кредитам.

Глиняные таблетки из гр. 2000 г. до н.э. включают упражнение «Учитывая процентную ставку 1/60 в месяц (без начисления сложных процентов), вычислите время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20%, и, следовательно, время удвоения 100% роста / 20% роста в год = 5 лет.^[17]^[18]

Плимптон 322

В Плимптон 322 планшет содержит список "Пифагорейские тройки ", т.е. целые числа ${ Displaystyle (а, б, в)}$ такой, что ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ Тройки слишком много и слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой.

На эту тему написано много, в том числе некоторые предположения (возможно, анахроничные) относительно того, могла ли табличка служить ранней тригонометрической таблицей. Необходимо проявлять осторожность, чтобы увидеть планшет с точки зрения методов, знакомых или доступных писцам в то время.

[...] вопрос "как рассчитывалась таблетка?" не обязательно иметь такой же ответ, как на вопрос "какие проблемы ставит планшет?" На первый наиболее удовлетворительный ответ можно ответить с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а на вторую - с помощью каких-то задач прямоугольного треугольника.

(Э. Робсон, «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322», Historia Math. 28 (3), стр. 202).

Геометрия

Вавилоняне знали общие правила измерения объемов и площадей. Они измерили длину окружности в три раза больше диаметра и площадь в одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если бы $π$ оценивается как 3. Они знали, что это было приблизительное значение, и одна старая вавилонская математическая табличка была раскопана недалеко от Сузы в 1936 г. (датируется 19-17 вв. до н.э.) дает лучшее приближение $π$ как 25/8 = 3,125, примерно на 0,5 процента ниже точного значения.^[19]Объем цилиндра был взят как произведение основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды был неправильно принят как произведение высоты и половины суммы оснований. В теорема Пифагора был также известен вавилонянам.^[20]^[21]^[22]

«Вавилонская миля» была мерой расстояния, равной примерно 11,3 км (или примерно семи современным милям). Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в «милю времени», используемую для измерения пути Солнца, следовательно, представляющую время .^[23]

Древние вавилоняне знали теоремы о соотношении сторон подобных треугольников на протяжении многих столетий, но им не хватало понятия меры углов, и, следовательно, вместо этого они изучали стороны треугольников.^[24]

В Вавилонские астрономы вел подробные записи о восходе и закате звезды, движение планеты, а солнечная и лунная затмения, все это требует знания угловатый расстояния, измеренные на небесная сфера.^[25]

Они также использовали форму Анализ Фурье вычислить эфемериды (таблицы астрономических положений), открытый в 1950-х гг. Отто Нойгебауэр.^[26]^[27]^[28]^[29] Для расчетов движения небесных тел вавилоняне использовали основы арифметики и систему координат, основанную на эклиптика, часть неба, через которую проходят солнце и планеты.

Таблетки хранятся в британский музей предоставляют доказательства того, что вавилоняне даже зашли так далеко, что получили представление об объектах в абстрактном математическом пространстве. Таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до н. Э. И показывают, что вавилоняне понимали и использовали геометрию даже раньше, чем считалось ранее. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой путем рисования трапеция внизу - техника, которая, как считалось, возникла в Европе 14 века. Этот метод оценки позволил им, например, найти расстояние Юпитер путешествовал определенное количество времени.^[30]

Влияние

После повторного открытия вавилонской цивилизации стало очевидно, что Греческий и Эллинистические математики и астрономы, и в частности Гиппарх, сильно заимствованный из Вавилоняне.

Франц Ксавер Куглер продемонстрировано в его книге Die Babylonische Mondrechnung ("Вавилонские лунные вычисления", Freiburg im Breisgau, 1900) следующее: Птолемей заявил в своем Альмагест IV.2, что Гиппарх улучшил значения периодов Луны, известные ему от «еще более древних астрономов», сравнив наблюдения за затмениями, сделанные ранее «халдеями» и им самим. Однако Куглер обнаружил, что периоды, которые Птолемей приписывает Гиппарху, уже использовались в вавилонском эфемериды, в частности, сборник текстов, который сегодня называется «Система Б» (иногда приписываемый Кидинну ). По-видимому, Гиппарх только подтвердил достоверность периодов, которые он узнал от халдеев, своими новыми наблюдениями.

Ясно, что Гиппарх (и Птолемей после него) имел по существу полный список наблюдений за затмениями, охватывающий многие столетия. Скорее всего, они были составлены из «дневниковых» табличек: это глиняные таблички, в которых записаны все соответствующие наблюдения, которые обычно делали халдеи. Сохранившиеся образцы датируются периодом с 652 г. до н.э. по 130 г. н.э., но, вероятно, записи восходят еще ко времени правления вавилонского царя. Набонассар: Птолемей начинает свою хронологию с первого дня египетского календаря первого года Набонассара, то есть с 26 февраля 747 г. до н.э.

Само по себе это сырье, должно быть, было трудно использовать, и, без сомнения, халдеи сами составили выдержки, например, всех наблюдаемых затмений (некоторые таблички со списком всех затмений за период времени, охватывающий сарос были найдены). Это позволяло им распознавать периодические повторения событий. Среди прочего, они использовались в Системе B (см. Альмагест IV.2):

223 синодические месяцы = 239 возвращается в аномалии (аномальный месяц ) = 242 возвращает широту (драконий месяц ). Теперь это известно как сарос период, который полезен для прогнозирования затмения.
251 (синодический) месяц = 269 возвращений в аномалиях
5458 (синодических) месяцев = 5923 возврата по широте
1 синодический месяц = 29; 31,50,08,20 дней^[14] (шестидесятеричная; 29,53059413 ... дней в десятичной системе счисления = 29 дней 12 часов 44 мин 3⅓ с, P.S. реальное время составляет 2,9 с, поэтому отключается 0,43 секунды)

Вавилоняне выражали все периоды в синодических месяцы, вероятно, потому что они использовали лунно-солнечный календарь. Различные отношения с годичными явлениями привели к различным значениям продолжительности года.

Точно так же различные отношения между периодами планеты были известны. Отношения, которые Птолемей приписывает Гиппарху в Альмагест IX.3 уже использовались в предсказаниях, найденных на вавилонских глиняных табличках.

Все эти знания были переданы Греки вероятно вскоре после завоевания Александр Великий (331 г. до н.э.). По словам позднего классического философа Симплициус (начало VI века нашей эры) Александр приказал перевести исторические астрономические записи под наблюдением своего летописца. Каллисфен из Олинфа, который отправил его своему дяде Аристотель. Хотя Симплиций является очень поздним источником, его отчет может быть надежным. Некоторое время он провел в ссылке в Сасанид (Персидский) суд и, возможно, имел доступ к источникам, в противном случае утерянным на Западе. Поразительно, что он упоминает название терезис (Греческий: охрана), что является странным названием для исторического труда, но является адекватным переводом вавилонского названия. MassArt смысл охрана но также наблюдая. Во всяком случае, ученик Аристотеля Каллипп из Кизика представил свой 76-летний цикл, который улучшился по сравнению с 19-летним Метонический цикл, примерно в то время. Первый год его первого цикла начался в день летнего солнцестояния 28 июня 330 г. до н.э.Пролептический юлианский календарь дата), но позже он, кажется, отсчитал лунные месяцы от первого месяца после решающей битвы Александра при Гавгамела осенью 331 г. до н. э. Таким образом, Каллипп мог получить свои данные из вавилонских источников, а его календарь, возможно, ожидался Кидинну. Также известно, что вавилонский священник, известный как Берос написал около 281 г. до н.э. книгу на греческом языке по (скорее мифологической) истории Вавилонии, Babyloniaca, для нового правителя Антиох I; говорят, что позже он основал школу астрология на греческом острове Кос. Еще один кандидат на преподавание греков вавилонскому языку. астрономия /астрология был Судины кто был при дворе Атталус I Сотер в конце 3 века до нашей эры.

В любом случае перевод астрономических записей требовал глубоких знаний клинопись, язык и процедуры, поэтому кажется вероятным, что это сделали некие неопознанные халдеи. Итак, вавилоняне датировали свои наблюдения по своему лунно-солнечному календарю, в котором месяцы и годы имеют разную длину (29 или 30 дней; 12 или 13 месяцев соответственно). В то время они не использовали обычный календарь (например, основанный на Метонический цикл как они сделали позже), но начали новый месяц на основе наблюдений за Новолуние. Это делало очень утомительным вычисление временного интервала между событиями.

Возможно, Гиппарх преобразовал эти записи в Египетский календарь, который использует фиксированный год из 365 дней (состоящий из 12 месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней): это значительно упрощает вычисление временных интервалов. Птолемей датировал все наблюдения в этом календаре. Он также пишет, что «Все, что он (= Гиппарх) сделал, это составил сборник планетарных наблюдений, организованных более полезным способом» (Альмагест IX.2). Плиний утверждает (Naturalis Historia II.IX (53)) о предсказаниях затмений: «После своего времени (=Фалес ) Гиппарх предсказал ход обеих звезд (= Солнца и Луны) в течение 600 лет ... ". Это, кажется, означает, что Гиппарх предсказал затмения на период в 600 лет, но, учитывая огромное количество требуемых вычислений, это очень Скорее всего, Гиппарх составил бы список всех затмений со времен Набонассера до своего времени.

Другие следы вавилонской практики в творчестве Гиппарха:

первое известное греческое использование деления круга в 360 градусы из 60 угловые минуты.
первое последовательное использование шестидесятеричный система счисления.
использование устройства печус («локоть») около 2 ° или 2½ °.
использование короткого периода в 248 дней = 9 аномальных месяцев.

Смотрите также

Вавилония
Вавилонская астрономия
История математики
Исламская математика по математике в Исламский Ирак / Месопотамия

Примечания

^ Леви, Х. (1949). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Orientalia. NS. 18: 40–67, 137–170.
^ Леви, Х. (1951). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Orientalia. NS. 20: 1–12.
^ Брюинз, Э. М. (1953). "Классификация чисел в вавилонской математике". Revue d'Assyriologie. 47 (4): 185–188. JSTOR 23295221.
^ Казалас (1932). "Le Calcul de la table mathématique AO 6456". Revue d'Assyriologie. 29 (4): 183–188. JSTOR 23284034.
^ Лэнгдон, С. (1918). «Ассириологические заметки: Математические наблюдения на табличке Шейл-Эсагила». Revue d'Assyriologie. 15 (3): 110–112. JSTOR 23284735.
^ Робсон, Э. (2002). «Гарантированные подлинные оригиналы: Коллекция Плимптона и ранняя история математической ассириологии». В Вунше, К. (ред.). Mining the Archives: Festschrift для Кристофера Уокера по случаю его 60-летия. Дрезден: ОСТРОВ. С. 245–292. ISBN 3-9808466-0-1.
^ ^а ^б Aaboe, Asger (1991). «Культура Вавилонии: вавилонская математика, астрология и астрономия». В Бордмане, Джон; Эдвардс, И. Е. С .; Hammond, N.G.L .; Sollberger, E .; Уокер, К. Б. Ф. (ред.). Ассирийская и Вавилонская империи и другие государства Ближнего Востока, с восьмого по шестой века до нашей эры. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22717-8.
^ Хенрик Дравнел (2004). Текст арамейской мудрости из Кумрана: новая интерпретация документа Леви. Приложения к Журналу по изучению иудаизма. 86 (Иллюстрированный ред.). БРИЛЛ. ISBN 9789004137530.
^ Джейн МакИнтош (2005). Древняя Месопотамия: новые перспективы. Понимание древних цивилизаций (иллюстрировано ред.). ABC-CLIO. п. 265. ISBN 9781576079652.
^ Майкл А. Ломбарди, «Почему минута делится на 60 секунд, час - на 60 минут, а в сутках всего 24 часа?», "Scientific American" 5 марта 2007 г.
^ Лукас Н. Х. Бант, Филип С. Джонс, Джек Д. Бедиент (2001). Исторические корни элементарной математики (переиздание ред.). Курьерская корпорация. п. 44. ISBN 9780486139685.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
^ Дункан Дж. Мелвилл (2003). Хронология третьего тысячелетия, Математика третьего тысячелетия. Университет Святого Лаврентия.
^ «Обзор вавилонской математики».
^ ^а ^б Стандартное шестидесятеричное представление с использованием точки с запятой и запятой было введено Отто Нойгебауэром в 1930-х годах. Нойгебауэр, Отто; Сакс, Авраам Джозеф; Гётце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты, Американская восточная серия, 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, с. 2
^ Фаулер и Робсон, стр. 368.
Фотография, иллюстрация и описание корень (2) табличка из вавилонской коллекции Йельского университета
Фотографии с высоким разрешением, описания и анализ корень (2) планшет (YBC 7289) из Вавилонской коллекции Йельского университета
^ Аллен, Арнольд (январь 1999 г.). "Обзоры: Математика: от рождения чисел. Ян Гуллберг". Американский математический ежемесячник. 106 (1): 77–85. Дои:10.2307/2589607. JSTOR 2589607.
^ Почему «чудо сложных процентов» приводит к финансовым кризисам, Майкл Хадсон
^ Мы заинтересовались? Джон Х. Уэбб
^ Дэвид Гилман Романо, Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: истоки греческого стадиона, Американское философское общество, 1993 г., п. 78. »Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, раскопанная в Сузах в 1936 году и опубликованная Э.М. Брюинзом в 1950 году, дает информацию о том, что вавилонское приближение $π$ было 3⅛ или 3,125 ". Э. М. Брюинз, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse, 1950. М. Брюинз и М. Руттен, Textes mathématiques de Suse, Mémoires de la Mission Archéologique en Iran vol. XXXIV (1961 г.) См. Также Бекманн, Петр (1971), История Пи, Нью-Йорк: St. Martin's Press, стр. 12, 21–22.«в 1936 году примерно в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. [...] Упомянутая табличка, перевод которой был частично опубликован только в 1950 году, [...] утверждает, что отношение периметра правильного шестиугольника к периметру окружность описанного круга равна числу, которое в современных обозначениях дается как 57/60 + 36 / (60)² [т.е. $π$ = 3 / 0,96 = 25/8] ". Джейсон Дайер, О древнем вавилонском значении числа пи, 3 декабря 2008 г.
^ Нойгебауэр 1969, п. 36. «Другими словами, на протяжении всей вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».
^ Høyrup, п. 406. "Судить только по этим свидетельствам поэтому вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде непрофессиональных геодезистов, возможно, как побочный результат проблемы, рассматриваемой в Db₂-146, где-то между 2300 и 1825 гг. До н.э. "(Db₂-146 это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунна относительно вычисления сторон прямоугольника с учетом его площади и диагонали.)
^ Робсон 2008, п. 109. «Многие древневавилонские математики… знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет такую же площадь, как сумма квадратов по длине и ширине: это соотношение используется в отработанных решениях текстовых задач на разрезе. и наклеить «алгебру» на семь разных табличек из Эшнуны, Сиппара, Сузы и неизвестного места в южной Вавилонии ».
^ Eves, Глава 2.
^ Boyer (1991). «Греческая тригонометрия и измерение». История математики. стр.158–159.
^ Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения. Princeton University Press. п.20. ISBN 0-691-09541-8.
^ Престини, Елена (2004). Эволюция прикладного гармонического анализа: модели реального мира. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4125-2., п. 62
^ Рота, Джан-Карло; Паломби, Фабрицио (1997). Некорректные мысли. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3866-5., п. 11
^ Нойгебауэр 1969.
^ Брак-Бернсен, Лис; Брак, Маттиас (2004). «Анализ структуры оболочки из вавилонских времен и современности». Международный журнал современной физики E. 13 (1): 247–260. arXiv:физика / 0310126. Bibcode:2004IJMPE..13..247B. Дои:10.1142 / S0218301304002028. S2CID 15704235.
^ Эмспак, Джесси. «Вавилоняне использовали геометрию на века раньше, чем думали». Смитсоновский институт. Получено 2016-02-01.